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| Aufgabe | Ist n [mm] \in [/mm] N Summe der Quadrate zweier rationaler Zahlen, so ist n [mm] \in [/mm] Q
Hierbei sei Q = {n | es gibt x, y [mm] \in [/mm] Z mit [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = n} |
hallo allerseits!
sitze an dieser aufgabe..kann mir jmd bezüglich eines ansatzes helfen?
bin für jeden tip dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Mi 13.01.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das, was da steht, ist "nur" die formelle Schreibweise deiner "Textaussage".
Und [mm] \forall n\in\IN [/mm] gilt [mm] n\in\IQ [/mm] , da [mm] \IN\subset\IZ\subset\IQ(\subset\IR)
[/mm]
Marius
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Ich hätte die Aufgabe wohl besser formulieren sollen.
"Ist n [mm] \in [/mm] N Summe der Quadrate zweier rationaler Zahlen, so ist n [mm] \in [/mm] Q"
diese Aussage ist zu beweisen, und zwar mit folgender Eigenschaft von Q:
Q = {n | es gibt x, y [mm] \in [/mm] Z mit [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = n}.
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Hallo alpha-james,
die Benennung der Menge Q ist eine Falle, weil man das ja sicher so ausspricht wie [mm] \IQ, [/mm] die Menge der rationalen Zahlen. Hier ist aber eine andere Menge gemeint, nämlich die der natürlichen Zahlen, die sich als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen (oder damit auch natürlicher Zahlen einschließlich der Null) darstellen lassen.
Du sollst also dies zeigen:
Es seien [mm] n,q,t\in\IN,\ p,s,u,v\in\IZ.
[/mm]
Wenn [mm] \left(\bruch{p}{q}\right)^2+\left(\bruch{s}{t}\right)^2=n, [/mm] dann [mm] \exists [/mm] u,v mit [mm] u^2+v^2=n
[/mm]
Tipp: nimm an, beide Brüche seien vollständig gekürzt, also [mm] \ggT(|p|,q)=\ggT(|s|,t)=1. [/mm] Rechne dann die Quadrate aus, ziehe alles zu einem Bruch zusammen und überleg Dir, unter welchen Umständen dieser gleich einer natürlichen Zahl sein kann. Gibt es Bedingungen für p,q,s,t? Gibt es Eigenschaften von n, die daraus folgen?
Viel Erfolg!
reverend
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der nenner muss also den zähler also teilen, damit n eine natürliche zahl ist..danke für die tips..ich arbeite daran
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