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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Summe der folgenden Potenzreihe:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} \beta^{3n+1}*x^n[/mm] |
Offensichtlich steckt hier die geometrische Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n = \bruch{1}{1-x}[/mm] drin.
Allerdings wäre da auch noch der von n abhängige Faktor [mm]\beta^{3n+1}[/mm] . Hier könnte ich zwar ein [mm]\beta[/mm] aus der Summe herausziehen (welches ja nicht von n abhängt), allerdings fehlen mir dann weitere Ansätze.
Habt Ihr hier einen Tipp für mich?
Viele Grüße
Patrick
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Hi,
> Bestimmen Sie die Summe der folgenden Potenzreihe:
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \beta^{3n+1}*x^n[/mm]
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> Offensichtlich steckt hier die geometrische Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n = \bruch{1}{1-x}[/mm] drin.
Das ist korrekt.
[mm] \sum_{n=0}^{\infty} \beta^{3n+1}*x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\beta^{3n}*\beta*x^n=\beta\sum_{n=0}^{\infty}(\beta^3*x)^{n}=...
[/mm]
Erkennst du in dem letzten Ausdruck die geometrische Reihe? Wenn nicht, dann schreibe [mm] x':=\beta^3*x
[/mm]
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> Allerdings wäre da auch noch der von n abhängige Faktor
> [mm]\beta^{3n+1}[/mm] . Hier könnte ich zwar ein [mm]\beta[/mm] aus der
> Summe herausziehen (welches ja nicht von n abhängt),
> allerdings fehlen mir dann weitere Ansätze.
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> Habt Ihr hier einen Tipp für mich?
>
> Viele Grüße
> Patrick
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Hi Richie,
danke für Deine Hilfe!
Da waren meine Ansätze mit der geometrischen Reihe und dem "Herausziehen" von [mm]\beta[/mm] ja gar nicht so übel.
Dank Deiner Tipps komme ich jetzt auf:
[mm]\sum_{n=0}^{\infty} \beta^{3n+1}*x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\beta^{3n}*\beta*x^n=\beta\sum_{n=0}^{\infty}(\beta^3*x)^{n}= \beta * \bruch{1}{1-\beta^3 * x} = \bruch{\beta}{1-\beta^3 * x}[/mm]
Das sollte stimmen, oder?
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Hallo,
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> Hi Richie,
>
> danke für Deine Hilfe!
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> Da waren meine Ansätze mit der geometrischen Reihe und dem
> "Herausziehen" von [mm]\beta[/mm] ja gar nicht so übel.
>
> Dank Deiner Tipps komme ich jetzt auf:
>
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \beta^{3n+1}*x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\beta^{3n}*\beta*x^n=\beta\sum_{n=0}^{\infty}(\beta^3*x)^{n}= \beta * \bruch{1}{1-\beta^3 * x} = \bruch{\beta}{1-\beta^3 * x}[/mm]
>
> Das sollte stimmen, oder?
So sei es und nicht anders.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 So 25.11.2012 | | Autor: | Apfelchips |
Ich danke Dir. 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> Hi Richie,
>
> danke für Deine Hilfe!
>
> Da waren meine Ansätze mit der geometrischen Reihe und dem
> "Herausziehen" von [mm]\beta[/mm] ja gar nicht so übel.
>
> Dank Deiner Tipps komme ich jetzt auf:
>
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \beta^{3n+1}*x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\beta^{3n}*\beta*x^n=\beta\sum_{n=0}^{\infty}(\beta^3*x)^{n}= \beta * \bruch{1}{1-\beta^3 * x} = \bruch{\beta}{1-\beta^3 * x}[/mm]
>
> Das sollte stimmen, oder?
ja - sofern denn [mm] $|\beta^3*x| [/mm] < [mm] 1\,$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 So 25.11.2012 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo Marcel,
> ja - sofern denn [mm]|\beta^3*x| < 1\,[/mm]...
ja - denn das ist auch genau der Konvergenzradius.
Gruß
Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Patrick,
> Hallo Marcel,
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> > ja - sofern denn [mm]|\beta^3*x| < 1\,[/mm]...
>
> ja - denn das ist auch genau der Konvergenzradius.
den Zusatz solltest Du aber nicht unterschlagen. Übrigens gilt sogar mehr:
Die geometrische Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k$ [/mm] sogar in $q [mm] \in \IC$ [/mm] ist
genau konvergent für $|q| < [mm] 1\,.$
[/mm]
Denn wenn Du nur sagst, dass [mm] $r=1\,$ [/mm] der Konvergenzradius der
Potenzreihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)^k$ [/mm] ist, dann hast Du noch
keine Aussage darüber gemacht, was im Falle [mm] $|x-x_0|=1\,$ [/mm] passiert!
(Du weißt dann nur: Für [mm] $|x-x_0| [/mm] > 1$ divergiert, und für [mm] $|x-x_0|< [/mm] 1$
konvergiert die Reihe.)
Und dass [mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k$ [/mm] für [mm] $|q|=1\,$ [/mm] auch divergiert, ist klar:
Andernfalls wäre nämlich [mm] $(q^n)_n$ [/mm] dann eine Nullfolge. Aber
[mm] $|q^n|=|q|^n=1$ [/mm] widerspricht dem...
Gruß,
Marcel
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