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Hi, ich habe mal wieder ne Frage. Bin soweit mit meinem Übungszetel fertig ausser das ich mit dieser Frage nichts so recht anzufangen weiss.
Seien S1 und S2 Teilmengen von Vektoren des K-Vektorraums V. Für zwei Mengen M1 und M2 gilt:
[mm] M_1+M_2 = \{ u = m_i + m_j | m_i \in M_1 , m_j \in M_2 \} [/mm]
Zeigen sie: [mm] \left\langle S_1 \right\rangle + \left\langle S_2 \right\rangle = \left\langle S_1 \cup S_2 \right\rangle [/mm]
(gemeint sind die erzeugenden Systeme von S1 und S2)
Ich verstehe den Zusammenhang zwischen M und S nicht ganz...worin ist u?? Ist [mm] M_1 + M_2 [/mm] gleich [mm] S_1 + S_2 [/mm] ???
Vielen Dank schon mal !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Di 22.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Fragezeichen,
> Seien S1 und S2 Teilmengen von Vektoren des K-Vektorraums
> V. Für zwei Mengen M1 und M2 gilt:
>
> [mm]M_1+M_2 = \{ u = m_i + m_j | m_i \in M_1 , m_j \in M_2 \}[/mm]
>
>
> Zeigen sie: [mm]\left\langle S_1 \right\rangle + \left\langle S_2 \right\rangle = \left\langle S_1 \cup S_2 \right\rangle[/mm]
>
>
> (gemeint sind die erzeugenden Systeme von S1 und S2)
>
>
> Ich verstehe den Zusammenhang zwischen M und S nicht
> ganz...
Da gibt es keinen Zusammenhang. [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] sind nur für die Definition des "+"-Operators relevant; das sind also zwei beliebige Mengen.
Diese Definition taucht aber in der Behauptung auf, dort wird die Definition auf die Mengen [mm] $\langle S_1 \rangle$ [/mm] und [mm] $\langle S_2 \rangle$ [/mm] angewendet.
> worin ist u??
Was ist u?
> Ist [mm]M_1 + M_2 [/mm] gleich [mm]S_1 + S_2 [/mm]
> ???
Das dürfte jetzt klarer sein, hoffentlich. [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] sind "temporäre" Variablen, die nur innerhalb der Definition von "+" gültig sind.
Nun zu der eigentlichen Behauptung. Sie besteht ja aus dem Beweis einer Gleichheit zweier Mengen, d.h., wir können den Beweis aufteilen in [mm] "$\subset$" [/mm] und [mm] "$\supset$".
[/mm]
i) [mm]\left\langle S_1 \right\rangle + \left\langle S_2 \right\rangle \subset \left\langle S_1 \cup S_2 \right\rangle[/mm]
Sei [mm] $s\in \left\langle S_1 \right\rangle [/mm] + [mm] \left\langle S_2 \right\rangle$.
[/mm]
Dann ex. [mm] $s_1\in \left\langle S_1 \right\rangle$ [/mm] und [mm] $s_2\in\left\langle S_2 \right\rangle$ [/mm] mit [mm] s=s_1+s_2 [/mm] (siehe Definition von "+").
Nun ist [mm] s_1 [/mm] wegen [mm] $s_1\in\langle S_1\rangle$ [/mm] eine Linearkombination von Vektoren aus [mm] S_1, [/mm] es gibt also diese Darstellung:
[mm] $s_1=\lambda_1*u_1+\ldots+\lambda_n*u_n$ [/mm] mit [mm] $u_1,\ldots,u_n\in S_1$
[/mm]
Ebenso für [mm] $s_2$:
[/mm]
[mm] $s_2=\lambda_1*v_1+\ldots+\lambda_m*v_m$ [/mm] mit [mm] $v_1,\ldots,v_m\in S_2$
[/mm]
Für s haben wir also insgesamt diese Darstellung:
[mm] $s=s_1+s_2= \lambda_1*u_1+\ldots+\lambda_n*u_n+\lambda_1*v_1+\ldots+\lambda_m*v_m$
[/mm]
Nun sind [mm] $u_1,\ldots,u_n,v_1,\ldots,v_m\in S_1\cup S_2$, [/mm] s ist also eine Linearkombination von Elementen aus [mm] $S_1\cup S_2$, [/mm] also:
[mm] $s\in \langle S_1\cup S_2\rangle$
[/mm]
ii) [mm]\left\langle S_1 \right\rangle + \left\langle S_2 \right\rangle \supset \left\langle S_1 \cup S_2 \right\rangle[/mm]
Das überlasse ich dir zur Übung 
Viele Grüße,
Marc
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