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Hallo Leute!
Sei $A [mm] \in \mathbb{R}^{n \times n}$.
[/mm]
Folgende Schreibweise leuchtet mir nicht ein:
[mm] $\max_{1 \le k \le n}\sum_{i=1}^{n}{\left|a_{ik}\right|}$
[/mm]
Was bedeutet das umgangssprachlich?
Ich denke, es bedeutet folgendes:
1.) Addiere alle Zeilen von $A$ auf.
2.) Wähle in jeder Zeile den größten Eintrag und addiere Diese zusammen? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Oder wird hier eine Art Maximum über die Summe genommen?
Ich verstehe es nicht... . ;(
Wäre schön, wenn mir jemand antworten würde.
Vielen Dank!
Grüße
Karl
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> Hallo Leute!
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> Sei [mm]A \in \mathbb{R}^{n \times n}[/mm].
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> Folgende Schreibweise leuchtet mir nicht ein:
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> [mm]\max_{1 \le k \le n}\sum_{i=1}^{n}{\left|a_{ik}\right|}[/mm]
Hallo, ich wurde das auf deutsch so sagen:
Summiere in den Spalten die Beträge, und nun nimm den Wert derjenigen Spalte, bei der die Summe am größten ist. Oh weh, ich weiß nicht, ob dieses deutsch so gut zu verstehen ist...
Ich mach lieber noch mal ein Beispiel, welches den komischen Satz da oben illustriert. Hoffentlich.
A:= [mm] \pmat{ 1 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 1}
[/mm]
Summe der Beträge der ersten Spalte : 3
Summe der Beträge der zweiten Spalte : 6
Summe der Beträge der dritten Spalte : 8
Dann ist [mm] \max_{1 \le k \le 3}\sum_{i=1}^{3}{\left|a_{ik}\right|}
[/mm]
[mm] =max_{1 \le k \le 3}{({\left|a_{1k}\right|}+{\left|a_{2k}\right|}+{\left|a_{3k}\right|})}
[/mm]
=max { [mm] {\left|a_{11}\right|}+{\left|a_{21}\right|}+{\left|a_{31}\right| }, {\left|a_{12}\right|}+{\left|a_{22}\right|}+{\left|a_{32}\right|}, {\left|a_{13}\right|}+{\left|a_{23}\right|}+{\left|a_{33}\right|} [/mm] }
=max{3,6,8}=8
Gruß v. Angela
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Hallo Angela!
Danke für die Hilfe! Ich habe hier nämlich eine Abschätzung vor mir, wo ich einen Schritt nicht verstehe. Wieso gilt:
[mm] $\sum_{k=1}^{n}{\sum_{i=1}^{n}{\left|a_{ik}\right|\cdot{\left|x_k\right|}}} \leqslant \sum_{k=1}^{n}{\left(\max_{1\le k \le n}\sum_{i=1}^{n}{\left|a_{ik}\right|}\right)\left|x_k\right|}$
[/mm]
wobei $x [mm] \in \mathbb{R}^n$?
[/mm]
Deiner obigen Antwort entnehme ich: Es gilt, weil ich links die Summen aller Beträge aller Einträge aller n Spalten aufsummiere, rechts hingegen die Summe aller Beträge aller Einträge der größten Spalte von $A$ aufsummiere? So ähnlich ist das doch, oder? Was mich rechts der Ungleichung stört ist die Doppeldeutigkeit des Index $k$. Er kommt einmal bei der äußersten Summe, und einmal bei dem Maximum der inneren Summe vor; Der Bezug verwirrt mich ein wenig, weil sich das $k$ im linken Teil der Ungleichung doch auch auf [mm] $a_{ik}$ [/mm] bezieht, richtig?
Und was ist eigentlich mit dem [mm] $x_k$? [/mm] Sind das jetzt alles unwesentliche Koeffizienten? Aber die Ungleichung scheinen sie nicht zu "stören"...
Danke!
Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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> [mm]\sum_{k=1}^{n}{\sum_{i=1}^{n}{\left|a_{ik}\right|\cdot{\left|x_k\right|}}} \leqslant \sum_{k=1}^{n}{\left(\max_{1\le k \le n}\sum_{i=1}^{n}{\left|a_{ik}\right|}\right)\left|x_k\right|}[/mm]
>
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> wobei [mm]x \in \mathbb{R}^n[/mm]?
Hallo Karl, ich stelle das mal etwas "volkstümlich" dar, und ich verzichte auf die Beträge, Du weiß ja, daß es um Beträge geht. Also, nicht schimpfen!
Rechts haben wir
[mm]\sum_{k=1}^{n}{\sum_{i=1}^{n}{\left|a_{ik}\right|\cdot{\left|x_k\right|}}}[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n}(k-te Spaltensumme)*|x_k|
[/mm]
=(1-te [mm] Spaltensumme)*|x_1|+(2-te Spaltensumme)*|x_2|+...+(n-te Spaltensumme)*|x_n|
[/mm]
Und das ist kleiner als links:
[mm]\sum_{k=1}^{n}{\left(\max_{1\le k \le n}\sum_{i=1}^{n}{\left|a_{ik}\right|}\right)\left|x_k\right|}[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n}(maximale Spaltensumme)|x_k|
[/mm]
=(maximale [mm] Spaltensumme)|x_1|+(maximale Spaltensumme)|x_2|+...+(maximale Spaltensumme)|x_n|
[/mm]
> Was mich rechts der Ungleichung stört
> ist die Doppeldeutigkeit des Index [mm]k[/mm]. Er kommt einmal bei
> der äußersten Summe, und einmal bei dem Maximum der inneren
> Summe vor; Der Bezug verwirrt mich ein wenig
Den Bezug gibt es eigentlich gar nicht: Du fängst ja in der inneren Klammer an, die Dir die maximale Spaltensumme liefert. Bis Du zur äußeren Summe kommst, ist das "innere k" längst über alle Berge.
>
> Und was ist eigentlich mit dem [mm]x_k[/mm]? Sind das jetzt alles
> unwesentliche Koeffizienten? Aber die Ungleichung scheinen
> sie nicht zu "stören"...
Wie wichtig sie in Verlauf deiner weiteren rechnung sind, weiß ich nicht. Hier ist mit ihnen nichts besonderes los, sie werden nicht maximiert oder so. Sind einfach da und stören nicht weiter. was will man mehr?
Gruß v. Angela
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> Danke!
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> Grüße
> Karl
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