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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Do 02.05.2013 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Zeigen Sie folgende asymptotische Formel:
[mm] \sum_{n \le x} \sigma_{-1}(n) = \zeta(2)x + O(log(x)) [/mm]
wobei [mm] \sigma_{-1}(n):=\sum_{d | n} \frac{1}{d} [/mm] |
Hallo!
In der Vorlesung hatten wir bereits
[mm] \sum_{n \le x} \frac{1}{n} = log(x) + \gamma + O(\frac{1}{x}) [/mm]
was man auf diese Summe nun anwenden könnte...Allerdings kommt da was bei raus, dass irgendwie noch nicht so aussieht, wie es aussehen soll...
[mm] \sum_{n \le x} \sigma_{-1}(n) = \sum_{n \le x} \sum_{ d \le \frac{x}{n}} \frac{1}{d} \stackrel{s.o.}{=} \sum_{n \le x} log(\frac{x}{n})+\gamma+O(\frac{1}{x}) = log( \frac{x}{[x]!}) + [x] \gamma + O(\sum_{n \le x} \frac{1}{x}) = log( \frac{x}{[x]!}) + [x] \gamma + O(log(x)) [/mm]
Der richtige O-Term steht da schonmal...Aber wie kommt da nun die Zetafunktion ins Spiel, warum ist [mm] log( \frac{x}{[x]!}) + [x] \gamma= \zeta(2) x + O(log(x)) [/mm] ?
Oder hab ich hier irgendwas falsch gemacht? Dieses [mm] log( \frac{x}{[x]!}) [/mm] scheint mir ein bisschen stark zu fallen..., als dass das mit nen bissel mehr als der Hälfte von x bis auf einen O(log(x))-Term [mm] \zeta(2)x [/mm] sein könnte...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:59 Fr 03.05.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie folgende asymptotische Formel:
> [mm]\sum_{n \le x} \sigma_{-1}(n) = \zeta(2)x + O(log(x))[/mm]
> wobei [mm]\sigma_{-1}(n):=\sum_{d | n} \frac{1}{d}[/mm]
> Hallo!
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> In der Vorlesung hatten wir bereits
> [mm]\sum_{n \le x} \frac{1}{n} = log(x) + \gamma + O(\frac{1}{x})[/mm]
>
> was man auf diese Summe nun anwenden könnte...Allerdings
> kommt da was bei raus, dass irgendwie noch nicht so
> aussieht, wie es aussehen soll...
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> [mm]\sum_{n \le x} \sigma_{-1}(n) = \sum_{n \le x} \sum_{ d \le \frac{x}{n}} \frac{1}{d} \stackrel{s.o.}{=} \sum_{n \le x} log(\frac{x}{n})+\gamma+O(\frac{1}{x}) = log( \frac{x}{[x]!}) + [x] \gamma + O(\sum_{n \le x} \frac{1}{x}) = log( \frac{x}{[x]!}) + [x] \gamma + O(log(x))[/mm]
Das passt so noch nicht ganz: du hast ja den Term $O(1/d)$, ueber den du auch noch summierst. Das kannst du nicht einach zu $O(1/x)$ "vereinfachen".
Versuch's doch mal so: [mm] $\sum_{n \le x} \sum_{d \mid n} \frac{1}{d} [/mm] = [mm] \sum_{d \le x} \sum_{d \mid n \atop n \le x} \frac{1}{d} [/mm] = [mm] \sum_{d \le x} \lfloor \frac{x}{d} \rfloor \cdot \frac{1}{d}$. [/mm] Der Fehler zu [mm] $\sum_{d \le x} \frac{x}{d^2}$ [/mm] ist beschraenkt durch [mm] $\sum_{d \le x} \frac{1}{d} [/mm] = [mm] O(\log [/mm] x)$ (nach dem Resultat aus deiner Vorlesung).
Jetzt musst du dir [mm] $\sum_{d \le x} \frac{x}{d^2} [/mm] = x [mm] \sum_{d \le x} \frac{1}{d^2}$ [/mm] genauer anschauen. Beachte, dass [mm] $\sum_{d=1}^\infty \frac{1}{d^2} [/mm] = [mm] \zeta(2)$ [/mm] ist.
LG Felix
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