Summe geometrische Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:50 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Mona_13 |
| Aufgabe | a+a(1+a)^-1+a(1+a)^-2+a(1+a)^-3.....
Bestimmen sie die Summe der geometrischen Reihe (a>0) |
also für den Verlauf habe ich a*(1+a)^-n+1
aber wie komme ich auf die Summe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> a+a(1+a)^-1+a(1+a)^-2+a(1+a)^-3.....
>
> Bestimmen sie die Summe der geometrischen Reihe (a>0)
> also für den Verlauf habe ich a*(1+a)^-n+1
>
> aber wie komme ich auf die Summe?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Gesucht ist also
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}a(1+a)^{-i}=a\summe_{i=0}^{\infty}(1+a)^{-i}.
[/mm]
Weißt Du denn, was eine geometrische Reihe ist, und wie ihr Grenzwert "geht"?
Wenn nicht, mach Dich zunächst diesbezüglich schlau.
Als nächstes gilt es dann zu prüfen, ob Du in Deiner Aufgabe alle Zutaten für die geometrische Reihe hast.
Falls Du es nicht hinbekommst: wo hängst Du? Was ist Dir nicht klar?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Mona_13 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Ich dachte ich müsste die mit der Formel [mm] s_n=a_1*\bruch{q^n-1}{q-1} [/mm] arbeiten, und dann hings bei mir bei der Umsetzung von q , und wie weit ich es kürzen kann, bzw muss.
Aber das mit dem Summen Zeichen ist viel verständlicher, vielen Dank!
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
>
> Ich dachte ich müsste die mit der Formel
> [mm]s_n=a_1*\bruch{q^n-1}{q-1}[/mm] arbeiten, und dann hings bei
> mir bei der Umsetzung von q , und wie weit ich es kürzen
> kann, bzw muss.
Hallo,
was Du dachtest, ist gar nicht so übel.
Das Problem: die Summe, die Du in Deinem Eingangspost präsentierst, ist eine unendliche.
Die Formel [mm] s_n=a_1*\bruch{q^n-1}{q-1} [/mm] hingegen ist für eine endliche Summe, mit Summenzeichen geschrieben wäre das
[mm] \summe_{i=1}^{n-1}aq^i=a*\bruch{q^n-1}{q-1}.
[/mm]
Für die unendliche Summe mußt Du die Formel für die unendliche geometrische Reihe verwenden, schau nach, ob Ihr die hattet. Ich vermute das sehr.
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}q^i=\bruch{1}{1-q} [/mm] für q<1. (Das ist wichtig!)
Ich hatte es Dir ja schon mundgerecht hingelegt:
>> $ [mm] \summe_{i=0}^{\infty}a(1+a)^{-i}=a\summe_{i=0}^{\infty}(1+a)^{-i}. [/mm] $,
das a konnte vor die Summe gezogen werden, weil es ein konstanter Faktor ist.
So, nun konkret zu der Frage nach dem q:
[mm] (1+a)^{-i} [/mm] kannst Du auch schreiben als [mm] (\bruch{1}{1+a})^i.
[/mm]
Es ist also [mm] \bruch{1}{1+a} [/mm] Dein q.
Es ist wichtig, daß Du Dir überlegst, warum der Nenner [mm] \not=0 [/mm] ist, und falls es sich wirklich um eine unendliche Reihe handelt, ist es auch wichtig, sicherzustellen, daß [mm] \bruch{1}{1+a}<1 [/mm] ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:53 Di 19.06.2007 | | Autor: | Mona_13 |
ah, ok!
jetzt ist mir alles ein wenig klarer, das man eine endliche und unendliche Folge so unterscheiden muss, war mir vorher garnicht bekannt vielen dank für die gute Erklärung.
also wäre es dann mit der Summenformel
so zu schreiben [mm] s_n=a*\bruch{1-(\bruch{1}{1+a})^i}{1-(\bruch{1}{1+a})}
[/mm]
|
|
|
| |
|
> also wäre es dann mit der Summenformel
>
> so zu schreiben
> [mm]s_n=a*\bruch{1-(\bruch{1}{1+a})^i}{1-(\bruch{1}{1+a})}[/mm]
>
>
Hallo,
ich bin mir nicht ganz im Klaren darüber, ob Du weißt, was Du tust, oder vielleicht doch nicht.
[mm] s_n, [/mm] die n-te Partialsumme, ist NICHT der Ausdruck, den Du im Eingangspost angibst.
Dort schreibst Du, daß Du [mm] a+a(1+a)^{-1}+a(1+a)^{-2}+a(1+a)^{-3}..... [/mm] berechnen willst, also eine Summe, die niemals aufhört.
Die n_te Partialsumme dieser Reihe wäre
[mm] s_n= a+a(1+a)^{-1}+a(1+a)^{-2}+a(1+a)^{-3}+....+a(1+a)^{-n}
[/mm]
[mm] =a+a(\bruch{1}{1+a})^{1}+a(\bruch{1}{1+a})^{2}+a(\bruch{1}{1+a})^{3}+....+a(\bruch{1}{1+a})^{n}
[/mm]
[mm] =a(1+(\bruch{1}{1+a})^{1}+(\bruch{1}{1+a})^{2}+(\bruch{1}{1+a})^{3}+....+(\bruch{1}{1+a})^{n})
[/mm]
[mm] =a\bruch{1-(\bruch{1}{1+a})^{n+1}}{1-(\bruch{1}{1+a})}
[/mm]
Beachte hier den Exponenten. i hat da nichts zu suchen, das i in den vorhergehenden Posts war lediglich der Laufindex.
So. Wir haben nun also einen recht übersichtlichen Ausdruck für die n-te Partialsumme dastehen.
In Deiner Aufgabe ist aber eine unendliche Summe gefordert. Ich bekomme den Verdacht, daß Ihr die Formel für die unendliche geometrische Reihe noch nicht hattet.
Also muß man selber rechnen.
Da Du die unendliche Summe benötigst (jedenfalls schriebst Du das eingangs), brauchst Du also folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}s_n.
[/mm]
[mm] s_n [/mm] hast Du ja gerade oben ausgerechnet.
Also ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}s_n=\limes_{n\rightarrow\infty}(a\bruch{1-(\bruch{1}{1+a})^{n+1}}{1-(\bruch{1}{1+a})})
[/mm]
Du mußt Dir nun also überlegen, was mit diesem Ausdruck passiert, wenn n gegen [mm] \infty [/mm] läuft.
Hierzu mußt Du bedenken, daß [mm] 0<\bruch{1}{1+a}<1 [/mm] ist, worauf ich in einem vorhergehenden Post schon hinwies.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
