Summe exp.verteilter ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Do 28.07.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | | Seien $X,Y$ unabhängige, exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Parameter [mm] $\lambda [/mm] > 0$. Welche Verteilung besitzt $X+Y$? |
Hallo,
ich glaube ich stehe ein wenig auf dem Schlauch. Die Dichte der Verteilung von $X+Y$ ist gegeben durch die Faltung:
[mm] $f_{X+Y}(u) [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} \lambda^2 e^{-\lambda v}e^{-\lambda(u-v)} \mathbbm{1}_{[0,\infty)}(v)\mathbbm{1}_{[0,\infty)}(u-v)dv [/mm] = [mm] e^{-\lambda u}\lambda^2 \int_{0}^{u} [/mm] dv = [mm] \lambda^2 ue^{\lambda u}$
[/mm]
Damit erhalte ich die Verteilung:
$P[X+Y [mm] \leq [/mm] z] = [mm] \int_{-\infty}^{z}\lambda^2 ue^{-\lambda u}du$
[/mm]
Das Problem ist nun, dass dieses Integral meines Erachtens divergiert. Und ich sehe nicht, warum die untere Grenze eine andere sein sollte.
LG, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Do 28.07.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> Das Problem ist nun, dass dieses Integral meines Erachtens
> divergiert. Und ich sehe nicht, warum die untere Grenze
> eine andere sein sollte.
>
Du darfst das $u_$ nicht beliebig waehlen, deine Argumentation gilt fuer $u>0$. Somit lautet die Integraluntergrenze 0. Du hast uebrigens den Spezialfall einer ![[]](/images/popup.gif) Erlang-Verteilung vorliegen.
vg Luis
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