Summe der Stammbrüche < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Di 16.12.2014 | | Autor: | M.Rex |
| Aufgabe | [mm] S_{n} [/mm] ist die Summe der Stammbrüche bis [mm] \frac{1}{n}
[/mm]
[mm] S_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{i}
[/mm]
Zu zeigen ist nun, dass
[mm] S_{2^k}\ge1+\frac{k}{2}
[/mm]
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Hallo Ihr.
Ich hab bei der Aufgabe echt mal nen ziemlich dickes Brett vor dem Kopf.
In einer Teilaufgabe davor ist schon gezeigt worden, dass
[mm] S_{2^{k}}\ge S_{2^{k-1}}+\frac{1}{2}
[/mm]
Das war auch nicht das große Problem.
Wie ich aber von der Aussage [mm] S_{2^{k}}\ge S_{2^{k-1}}+\frac{1}{2} [/mm] auf die zu beweisende Aussage [mm] S_{2^k}\ge1+\frac{k}{2} [/mm] komme, erschliesst sich mir gerade nicht.
Ich hatte auch schon überlegt, [mm] S_{2^{k}}\ge S_{2^{k-1}}+\frac{1}{2} [/mm] mit k zu multiplizieren, aber dann habe ich
[mm] k\cdot S_{2^{k}}\ge k\cdot S_{2^{k-1}}+\frac{k}{2}
[/mm]
Damit habe ich zwar die [mm] \frac{k}{2}, [/mm] aber der Rest klappt gerade nicht.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Di 16.12.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Ihr.
Mist, ich sehe gerade, dass es per Induktion hervorragend klappt:
[mm]S_{2^{k+1}}=\sum\limits_{i=1}^{2^{k+1}}\frac{1}{i}[/mm]
Umschreiben
[mm]=\sum\limits_{i=1}^{2^k}\frac{1}{i}+\sum\limits_{i=2^{k}+1}^{2^{k+1}}\frac{1}{i}[/mm]
Ind-Vorauss.
[mm]=1+\frac{k}{2}+\sum\limits_{i=2^{k}+1}^{2^{k+1}}\frac{1}{i}[/mm]
einen Term größer als 0 weglassen
[mm]\ge1+\frac{k}{2}[/mm]
Sollte es tatsächlich so einfach gewesen sein?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Di 16.12.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
für die Induktion sollte da aber zum Schluß:
[mm] $\ge [/mm] 1 + [mm] \bruch{k+1}{2}$ [/mm] herauskommen 
Zeige also, dass der Term, den du weg lässt, größer gleich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist.
Das ist aber recht trivial.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:02 Di 16.12.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Gono
Guter Einwand, das muss ich mir nochmal anschauen.
Marius
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