Summe aus zwei Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Prüfen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert.
[mm] S=3\summe_{k=4}^{\infty}\bruch{(-2)^{k-1}}{3^{k}}-2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}*\bruch{1}{2}^{2k+1} [/mm] |
Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe:
Ich habe für jede Summe die Werte für k eingesetzt und anhand der herausbekommenen Werte geschaut, wie sich die Reihe verhält.
Es handelt sich in beiden Fällen um geometrische Reihen.
[mm] 3\summe_{k=4}^{\infty}\bruch{(-2)^{k-1}}{3^{k}}
[/mm]
[mm] s=\bruch{1}{1-q_{1}} [/mm] mit [mm] q_{1}=-\bruch{2}{3} [/mm] (konvergent)
und
[mm] 2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}*\bruch{1}{2}^{2k+1}
[/mm]
[mm] s=\bruch{1}{1-q_{2}} [/mm] mit [mm] q_{2}=\bruch{3}{4} [/mm] (konvergent)
Nun bin ich nach diesem Schema vorgegangen:
[mm] S=\summe_{}^{}_{1}-\summe_{}^{}_{2}
[/mm]
[mm] S=(\bruch{1}{1-q_{1}})-(\bruch{1}{1-q_{2}})
[/mm]
[mm] S=\bruch{3}{5}-4=-\bruch{17}{5}
[/mm]
Was haltet ihr davon? Darf ich die Grenzwerte der Summen einfach voneinander subtrahieren?
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Mi 13.03.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
Grundsätzlich darfst Du natürlich beide Teil-Grenzwerte zu dem Gesamt-Grenzwert zusammenfassen
Allerdings müssen dafür auch diese Teil-Grenzwerte auch korrekt sein. Du hast jeweils den Start der Reihen missachtet.
Es gilt: [mm]\summe_{k=\red{0}}^{\infty}q^k \ = \ \bruch{1}{1-q} \ \ \text{für} \ \ |q| \ < \ 1[/mm]
Gruß
Loddar
PS: Und auch ausreichend Klammern solltest Du setzen, insbesondere bei Potenzen von Brüchen (wenn sich die Potenz nicht nur auf den Zähler beziehen soll).
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Darf ich, um den Reihenstart k=0 zu erhalten, folgendes tun?:
[mm] 3\summe_{k=4}^{\infty}\bruch{(-2)^{(k-1)}}{3^{k}} [/mm] soll gelten für [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] also k-4=0:
[mm] 3\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-2)^{((k-4)-1)}}{3^{(k-4)}}=3\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-2)^{(k-5)}}{3^{(k-4)}}
[/mm]
analog für die andere Summe:
[mm] 2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}*(\bruch{1}{2})^{(2k+1)} [/mm] soll gelten für k=0 also k+1=0:
[mm] 2\summe_{k=0}^{3+1}3^{(k+1)}*(\bruch{1}{2})^{(2(k+1)+1)}=2\summe_{k=0}^{4}3^{(k+1)}*(\bruch{1}{2})^{(2k+3)}
[/mm]
Gruß, Andreas
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Hallo Andreas,
argh. Mein Internet spinnt total ...
> Darf ich, um den Reihenstart k=0 zu erhalten, folgendes
> tun?:
>
> [mm]3\summe_{k=4}^{\infty}\bruch{(-2)^{(k-1)}}{3^{k}}[/mm] soll
> gelten für [mm]\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] also k-4=0:
>
> [mm]3\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-2)^{((k-4)-1)}}{3^{(k-4)}}=3\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-2)^{(k-5)}}{3^{(k-4)}}[/mm]
Nein! Wenn du den Index "an" der Summe erniedrigst, musst du ihn "in" der Summe entsprechend erhöhen. (Und umgekehrt)
Schreibe dir doch mal die ersten paar Summanden hin, sie müssen ja übereinstimmen.
In der Ausgangsreihe ist der erste Summand [mm]\frac{(-2)^3}{3^4}[/mm], in der indexverschobenen Reihe [mm]\frac{(-2)^{-5}}{3^{-4}}[/mm]
Das passt also nicht!
Richtig ist [mm]\sum\limits_{k\ge 4}\frac{(-2)^{k-1}}{3^k} \ = \ \sum\limits_{k\ge 0}\frac{(-2)^{(k+4)-1}}{3^{k+4}}[/mm]
>
> analog für die andere Summe:
>
> [mm]2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}*(\bruch{1}{2})^{(2k+1)}[/mm] soll gelten
> für k=0 also k+1=0:
>
> [mm]2\summe_{k=0}^{3+1}3^{(k+1)}*(\bruch{1}{2})^{(2(k+1)+1)}=2\summe_{k=0}^{4}3^{(k+1)}*(\bruch{1}{2})^{(2k+3)}[/mm]
Nein, hier derselbe Fehler nur umgekehrt. Erhöhst du "an" der Summe, musst du "in" der Summe entsprechend erniedrigen.
>
>
> Gruß, Andreas
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
also gilt für die zweite Summe:
[mm] 2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}(\bruch{1}{2})^{(2k+1)}=2\summe_{k=0}^{3}3^{(k-1)}(\bruch{1}{2})^{(2(k-1)+1)} [/mm] (?)
Oder muss ich "an" der Summe, auch den Wert auf dem Summenzeichen (das wäre hier die "3") entsprechend erhöhen?
Also dann: [mm] 2\summe_{k=0}^{4}3^{(k-1)}...
[/mm]
Gruß, Andreas
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Hallo Mathe-Andi,
> Hallo,
>
> also gilt für die zweite Summe:
>
> [mm]2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}(\bruch{1}{2})^{(2k+1)}=2\summe_{k=0}^{3}3^{(k-1)}(\bruch{1}{2})^{(2(k-1)+1)}[/mm]
> (?)
>
Das ist nicht richtig.
> Oder muss ich "an" der Summe, auch den Wert auf dem
> Summenzeichen (das wäre hier die "3") entsprechend
> erhöhen?
>
Ja, das musst Du.
> Also dann: [mm]2\summe_{k=0}^{4}3^{(k-1)}...[/mm]
>
>
> Gruß, Andreas
>
Gruss
MathePower
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Danke!
Das ergibt nun für die Gesamtsumme:
[mm] S=3\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-2)^{((k+4)-1)}}{3^{(k+4)}}-2\summe_{k=0}^{4}3^{(k-1)}(\bruch{1}{2})^{(2(k-1)+1)}
[/mm]
Nun habe ich für jede Teilsumme die Werte k=0,1,2,3 eingesetzt, um q zu ermitteln.
[mm] q_{1}=-\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] q_{2}=\bruch{3}{4}
[/mm]
Dies ergibt:
[mm] S=3*(\bruch{1}{1-q_{1}})-2*(\bruch{1}{1-q_{2}})
[/mm]
[mm] =3*(\bruch{1}{1-(-\bruch{2}{3})})-2*(\bruch{1}{1-\bruch{3}{4}
})
[/mm]
[mm]=1,8-8=-6,2[/mm]
Aufgrund von [mm] q_{1}<1 [/mm] und [mm] q_{2}<1 [/mm] (nach der Definition der geometrischen Reihe) ist die Reihe konvergent. Sie hat den Grenzwert S=-6,2.
Ich hoffe, das ist nun richtig. Dann sollte ich das Prinzip für diesen Aufgabentyp verstanden haben.
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Fr 15.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hey,
> Danke!
>
> Das ergibt nun für die Gesamtsumme:
>
> [mm]S=3\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-2)^{((k+4)-1)}}{3^{(k+4)}}-2\summe_{k=0}^{4}3^{(k-1)}(\bruch{1}{2})^{(2(k-1)+1)}[/mm]
>
> Nun habe ich für jede Teilsumme die Werte k=0,1,2,3
> eingesetzt, um q zu ermitteln.
was ist denn [mm] $q\,$ [/mm] überhaupt? Sinn macht bei der Aufgabe:
[mm] $$S=\underbrace{3\summe_{k=4}^{\infty}\bruch{(-2)^{k-1}}{3^{k}}}_{\displaystyle=:S_1}\;\;-\;\;\underbrace{2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}\cdot{}\red{\left(\black{\bruch{1}{2}}\right)}^{2k+1}}_{\displaystyle=:S_2}\,,$$
[/mm]
erstmal [mm] $S_1$ [/mm] zu betrachten:
[mm] $$S_1=3\summe_{k=4}^{\infty}\bruch{(-2)^{k-1}}{3^{k}}=\frac{3}{\,-\,2}*\summe_{k=4}^{\infty}\left(\bruch{-2}{3}\right)^k\,.$$
[/mm]
Dafür habe ich Dir hier (klick!) eine geeignete Formel
hergeleitet! (Hinweis: Es gilt $|-2/3|=2/3 < [mm] 1\,.$) [/mm] Frage nach, wenn Du sie
oder die Herleitung nicht verstehst!
Den Wert für [mm] $S_2$ [/mm] kannst Du sofort berechnen - da bedarf es nicht
unbedingt irgendwelcher Tricks, da steht eine Summe aus ENDLICH VIELEN
Summanden (5 an der Zahl)!!
Gruß,
Marcel
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Hallo,
> erstmal [mm]S_1[/mm] zu betrachten:
>
> [mm]S_1=3\summe_{k=4}^{\infty}\bruch{(-2)^{k-1}}{3^{k}}=\frac{3}{\,-\,2}*\summe_{k=4}^{\infty}\left(\bruch{-2}{3}\right)^k\,.[/mm]
Ja klar, das Einsetzen hätte ich mir durch Umstellen sparen können. Ich schildere nochmal wie man auf das q kommt (also den Quotienten zweier aufeinander folgender Reihen):
- für die geometrische Reihe muss der Reihenstart k=0 sein. Dies ist Bedingung für das Anwenden der Formel für den Reihenwert s *)
- ist dies nicht der Fall, müssen die Summenindizes der geometrischen Reihe entsprechend angepasst werden. Mit folgendem Merksatz komme ich ganz gut klar: Erniedrigt man den Index an der Summe, muss er in der Summe entsprechend erhöht werden (und umgekehrt)
Nun gilt für den Reihenwert s der geometrischen Reihe:
*) s= [mm] a_{1}*\bruch{1}{1-q}
[/mm]
[mm] (a_{1} [/mm] sei das Anfangsglied der Reihe)
Nach diesem Ausdruck versuche ich umzustellen, dann kann ich q direkt ablesen.
Für obigen Fall wäre das:
[mm] 3\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-2)^{(k+3)}}{3^{(k+4)}}=3\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-2)^{k}*(-2)^{3}}{3^{k}*3^{4}}=-\bruch{8}{27}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-2}{3})^{k}
[/mm]
[mm] q=-\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] s_{1}=\bruch{-8}{27}*\bruch{1}{1+\bruch{2}{3}}=\bruch{-8}{45}
[/mm]
Durch entsprechendes Umstellen mit Potenzgesetzen, habe ich für für die andere Reihe heraus:
[mm] 2\summe_{k=0}^{4}3^{(k-1)}(\bruch{1}{2})^{(2k-1)}=2\summe_{k=0}^{4}\bruch{3^{k}}{3}*\bruch{2}{4^{k}}=\bruch{4}{3}\summe_{k=0}^{4}(\bruch{3}{4})^{k}
[/mm]
[mm] q=\bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] s_{2}=\bruch{4}{3}*\bruch{1}{1-\bruch{3}{4}}=\bruch{16}{3}
[/mm]
Endergebnis:
[mm] S=s_{1}-s_{2}=\bruch{-8}{45}-\bruch{16}{3}=\bruch{-248}{45}
[/mm]
Ich hoffe das stimmt.
Gruß, Andreas
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Hallo Mathe-Andi,
> Hallo,
> > erstmal [mm]S_1[/mm] zu betrachten:
> >
> >
> [mm]S_1=3\summe_{k=4}^{\infty}\bruch{(-2)^{k-1}}{3^{k}}=\frac{3}{\,-\,2}*\summe_{k=4}^{\infty}\left(\bruch{-2}{3}\right)^k\,.[/mm]
>
> Ja klar, das Einsetzen hätte ich mir durch Umstellen
> sparen können. Ich schildere nochmal wie man auf das q
> kommt (also den Quotienten zweier aufeinander folgender
> Reihen):
>
> - für die geometrische Reihe muss der Reihenstart k=0
> sein. Dies ist Bedingung für das Anwenden der Formel für
> den Reihenwert s *)
> - ist dies nicht der Fall, müssen die Summenindizes der
> geometrischen Reihe entsprechend angepasst werden. Mit
> folgendem Merksatz komme ich ganz gut klar: Erniedrigt man
> den Index an der Summe, muss er in der Summe entsprechend
> erhöht werden (und umgekehrt)
>
> Nun gilt für den Reihenwert s der geometrischen Reihe:
>
> *) s= [mm]a_{1}*\bruch{1}{1-q}[/mm]
>
> [mm](a_{1}[/mm] sei das Anfangsglied der Reihe)
>
> Nach diesem Ausdruck versuche ich umzustellen, dann kann
> ich q direkt ablesen.
>
> Für obigen Fall wäre das:
>
> [mm]3\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-2)^{(k+3)}}{3^{(k+4)}}=3\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-2)^{k}*(-2)^{3}}{3^{k}*3^{4}}=-\bruch{8}{27}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{-2}{3})^{k}[/mm]
>
> [mm]q=-\bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]s_{1}=\bruch{-8}{27}*\bruch{1}{1+\bruch{2}{3}}=\bruch{-8}{45}[/mm]
>
> Durch entsprechendes Umstellen mit Potenzgesetzen, habe ich
> für für die andere Reihe heraus:
>
> [mm]2\summe_{k=0}^{4}3^{(k-1)}(\bruch{1}{2})^{(2k-1)}=2\summe_{k=0}^{4}\bruch{3^{k}}{3}*\bruch{2}{4^{k}}=\bruch{4}{3}\summe_{k=0}^{4}(\bruch{3}{4})^{k}[/mm]
>
> [mm]q=\bruch{3}{4}[/mm]
>
> [mm]s_{2}=\bruch{4}{3}*\bruch{1}{1-\bruch{3}{4}}=\bruch{16}{3}[/mm]
>
> Endergebnis:
>
> [mm]S=s_{1}-s_{2}=\bruch{-8}{45}-\bruch{16}{3}=\bruch{-248}{45}[/mm]
>
[mm]s_{1}[/mm] stimmt, [mm]s_{2}[/mm] nicht.
> Ich hoffe das stimmt.
>
> Gruß, Andreas
>
Gruss
MathePower
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Hallo,
dann habe ich bestimmt die -1 falsch vom Index abgezogen.
Falsch: (2(k-1)+1)
Richtig:(2k+1-1)
Dann müsste für [mm] s_{2} [/mm] herauskommen:
[mm] \bruch{2}{3}\summe_{k=0}^{4}(\bruch{3}{4})^{k}
[/mm]
[mm] s=\bruch{2}{3}*\bruch{1}{1-\bruch{3}{4}}=\bruch{8}{3}
[/mm]
[mm] S=\bruch{-8}{45}-\bruch{8}{3}=\bruch{-128}{45}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Sa 16.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andi,
> Hallo,
>
> dann habe ich bestimmt die -1 falsch vom Index abgezogen.
>
> Falsch: (2(k-1)+1)
> Richtig:(2k+1-1)
keine Ahnung - Du wirfst hier nun irgendwelche Bruchstücke von anderen
Überlegungen rein. Wenn Du mal
meine Antwort hier (klick!)
nochmal durchliest, und das meinst, siehst Du, dass eher sowas wie
[mm] $2(k-1)+1=2k-1\,$ [/mm] schon passend war - denke ich.
> Dann müsste für [mm]s_{2}[/mm] herauskommen:
>
> [mm]\bruch{2}{3}\summe_{k=0}^{4}(\bruch{3}{4})^{k}[/mm]
>
> [mm]s=\bruch{2}{3}*\bruch{1}{1-\bruch{3}{4}}=\bruch{8}{3}[/mm]
Du rechnest offenbar mit [mm] $\sum_{k=0}^{\red{\infty}}\,,$ [/mm] aber da steht
[mm] $$\sum_{k=0}^{\red{4}}\,.$$
[/mm]
Ich hab's Dir nun doch schon so oft gesagt: Da steht EINE ENDLICHE
Summe. Es ist
[mm] $$\sum_{k=0}^4 a_k=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4\,.$$
[/mm]
Natürlich könntest Du auch
[mm] $$\sum_{k=0}^4a_k=\sum_{k=0}^\infty a_k \;-\;\sum_{k=5}^\infty a_k$$
[/mm]
rechnen, sofern die beiden Reihen rechterhand KONVERGIEREN (eigentlich
reicht die Konvergenz einer der Reihen rechterhand; denn eine der beiden
Reihen rechterhand konvergiert genau dann, wenn die andere es tut!) -
aber denke doch einfach, wenn man auch einfach denken kann.
Also:
[mm] $$2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{2k+1}=2*\left(3^{-1}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{-1}+3^{0}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{1}+3^{1}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{3}+3^{2}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{5}+3^{3}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{7}\right)$$
[/mm]
Du darfst diesen Wert stupide sukzessiv ausrechnen. Natürlich kann man
das auch, indem man erst elegant umformt etc. pp. (man kann sich ja
einfach überlegen, dass für $q [mm] \not=-1$ [/mm] und $N,M [mm] \in \IN_0$ [/mm] gilt
[mm] $$\sum_{k=N}^M q^k=\frac{1-q^{M+1}}{1-q}\;-\;\frac{1-q^{N}}{1-q}=\frac{q^{M+1}-q^{N}}{q-1}$$ [/mm]
nachdem man vorher ein paar kleine, passende Umformungen getan hat,
kann sowas sicher auch helfen...),
aber Dir rate ich momentan schon deswegen davon ab, weil Du
anscheinend immer noch nicht (ein-)siehst, dass das EINE ENDLICHE
SUMME ist.
Merke Dir: ENDLICHE SUMMEN (d.h. Summen, die "aus 'endlich vielen'
Summanden gebildet werden") brauchen (meist) keine
Sonderberechnungswege. Wenn sie "kompliziert" sind, braucht man nur
etwas Geduld (und man sollte elementares Rechnen beherrschen). Mach'
doch aus endlichen Summen keine (unendliche) Reihen...
Ich meine: Wenn Du etwa [mm] $\sum_{k=1}^4 \frac{1}{k^2}\equiv:\sum_{k=1}^4 a_k$ [/mm] berechnen solltes,
so ist das toll, dass man das auch unter Verwendung von
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty a_k:\equiv\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$$
[/mm]
machen könnte. Aber man kann auch einfach
[mm] $$\sum_{k=1}^4 a_k=a_1+a_2+a_3+a_4=\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}$$
[/mm]
ausrechnen - das könnten sogar Schüler der 6. Klasse!
P.S.
Nur mal nebenbei:
Bei der Formel
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\;\sum_{k=1}^n k=\frac{n}{2}*(n+1)$$
[/mm]
steht auch nirgends eine Reihe. Diese Formel ist "allgemein", weil sie eben
für jedes $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] gilt.
Die Formel würde auch helfen, wenn man "nur"
[mm] $$\sum_{k=1}^{3} [/mm] k$$
berechnen wollte. Sie wäre allerdings für diesen speziellen Fall relativ
"langweilig", weil man auch direkt [mm] $1+2+3=6\,$ [/mm] ausrechnen kann.
Bei größeren [mm] $n\,$ [/mm] (vielleicht $n [mm] \ge [/mm] 10$) würde man [mm] $(\*)$ [/mm] sicher gerne
heranziehen. Wenn man allerdings nur den Wert für ein festes [mm] $n\,$ [/mm] einmal
braucht, interessiert es keinen, wie man den Wert nun berechnet hat:
Entweder rein per Definitionem der Summe linkerhand von [mm] $(\*)\,,$ [/mm] oder
mit der rechten Seite von [mm] $(\*).$ [/mm] Der Wert sollte nur stimmen (und weil die
Formel bewiesen ist, ist es auch wahrscheinlicher, dass man mit der
rechten Seite von [mm] $(\*)$ [/mm] weniger Rechenfehler macht, sofern [mm] $n\,$ [/mm] "groß"
ist).
So ist [mm] $(\*)$ [/mm] bspw. sehr nützlich, wenn man
[mm] $$\sum_{k=1}^{537} [/mm] k$$
ausrechnen will, aber nicht wirklich notwendig! Du kannst nämlich auch
(mit hinreichend langer Zeit und unter Vermeidung von Rechenfehlern)
$$1+2+3+4+5+...+537$$
ausrechnen; und sei es, dass Du Dich hinsetzt, und den Taschenrechner
benutzt, oder Dir eine kleine Schleife für einr geeignete
Programmiersprache programmierst...
Gruß,
Marcel
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Hallo,
danke Marcel für deine ausführliche Antwort. Ich habe nun verstanden, was Du mir mit der endlichen Summe sagen wolltest.
Ich rechne diese für kleines n einfach aus. Für ungefähr [mm] n\ge10 [/mm] ziehe ich, unter Beachtung der Summenindizes,
[mm] \summe_{k=1}^{n}k=\bruch{n}{2}*(n+1)
[/mm]
heran.
Das Ergebnis lautet nun:
[mm] S=s_{1}-s_{2}=-\bruch{8}{45}-\bruch{781}{192}=-\bruch{12227}{2880}
[/mm]
Ich habe viel wichtiges Handwerkszeug bei dieser Aufgabe gelernt! Ich danke Euch!
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Sa 16.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo> Hallo,
> Ich rechne diese für kleines n einfach aus. Für ungefähr
> [mm]n\ge10[/mm] ziehe ich, unter Beachtung der Summenindizes,
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k=\bruch{n}{2}*(n+1)[/mm]
>
> heran.
das t Unsinn, die formel gilt doch nur für [mm] a_k=k [/mm] nicht für geom. summen.
> Das Ergebnis lautet nun:
>
> [mm]S=s_{1}-s_{2}=-\bruch{8}{45}-\bruch{781}{192}=-\bruch{12227}{2880}[/mm]
ich habe für [mm] S_2 [/mm] was anderes raus! rechne nach (oder vor)
>Gruss leduart
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> [mm]2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{2k+1}=2*\left(3^{-1}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{-1}+3^{0}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{1}+3^{1}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{3}+3^{2}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{5}+3^{3}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{7}\right)[/mm] = [mm] 2(\bruch{2}{3}+\bruch{1}{2}+\bruch{3}{8}+\bruch{9}{32}+\bruch{27}{128})
[/mm]
liefert bei mir [mm] \bruch{781}{192}. [/mm] Wolfram Alpha bestätigt das.
Forme ich allerdings um und wende die Summenformel an, bekomme ich was anderes raus:
[mm] 2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}*(\bruch{1}{2})^{(2k+1)}=2\summe_{k=1}^{5}3^{k-2}*(\bruch{1}{2})^{(2(k-2)+1)}=\bruch{16}{9}\summe_{k=1}^{5}(\bruch{3}{4})^{k}
[/mm]
[mm] s_{2}=\bruch{16}{9}*\bruch{1-(\bruch{3}{4})^{5}}{1-(\bruch{3}{4})}\approx5,4236
[/mm]
Ich verstehe das nicht. :-(
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Hallo,
> [mm]2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{2k+1}=2*\left(3^{-1}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{-1}+3^{0}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{1}+3^{1}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{3}+3^{2}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{5}+3^{3}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{7}\right)[/mm]
> =
> [mm]2(\bruch{2}{3}+\bruch{1}{2}+\bruch{3}{8}+\bruch{9}{32}+\bruch{27}{128})[/mm]
>
> liefert bei mir [mm]\bruch{781}{192}.[/mm] Wolfram Alpha bestätigt
> das.
>
> Forme ich allerdings um und wende die Summenformel an,
> bekomme ich was anderes raus:
>
> [mm]2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}*(\bruch{1}{2})^{(2k+1)}=2\summe_{k=1}^{5}3^{k-2}*(\bruch{1}{2})^{(2(k-2)+1)}=\bruch{16}{9}\summe_{k=1}^{5}(\bruch{3}{4})^{k}[/mm]
>
> [mm]s_{2}=\bruch{16}{9}*\bruch{1-(\bruch{3}{4})^{5}}{1-(\bruch{3}{4})}\approx5,4236[/mm]
>
Du hast die Summenformel für geometrische Summen falsch angewandt.
Beachte: [mm] $\sum_{\red{k=0}}^{n}q^{k} [/mm] = [mm] \frac{1-q^{\red{n+1}}}{1-q}$
[/mm]
Wenn du das beides richtig einsetzt, kommt das richtige raus.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Sa 16.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
zu Deinem Hinweis:
>
> >
> [mm]2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{2k+1}=2*\left(3^{-1}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{-1}+3^{0}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{1}+3^{1}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{3}+3^{2}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{5}+3^{3}\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\right)^{7}\right)[/mm]
> > =
> >
> [mm]2(\bruch{2}{3}+\bruch{1}{2}+\bruch{3}{8}+\bruch{9}{32}+\bruch{27}{128})[/mm]
> >
> > liefert bei mir [mm]\bruch{781}{192}.[/mm] Wolfram Alpha bestätigt
> > das.
> >
> > Forme ich allerdings um und wende die Summenformel an,
> > bekomme ich was anderes raus:
> >
> >
> [mm]2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}*(\bruch{1}{2})^{(2k+1)}=2\summe_{k=1}^{5}3^{k-2}*(\bruch{1}{2})^{(2(k-2)+1)}=\bruch{16}{9}\summe_{k=1}^{5}(\bruch{3}{4})^{k}[/mm]
> >
> >
> [mm]s_{2}=\bruch{16}{9}*\bruch{1-(\bruch{3}{4})^{5}}{1-(\bruch{3}{4})}\approx5,4236[/mm]
> >
>
> Du hast die Summenformel für geometrische Summen falsch
> angewandt.
> Beachte: [mm]\sum_{\red{k=0}}^{n}q^{k} = \frac{1-q^{\red{n+1}}}{1-q}[/mm]
auch dazu hatte ich schonmal was geschrieben, man kann es hier (klick!)
nachlesen.
@Mathe-Andi: Versuche mal weniger, einfach gelernte Formeln
anzuwenden. Du musst erstmal den Blick dafür bekommen, ob das, auf das
Du eine Formel anwenden willst, auch in der passenden Form für die
Formel ist.
Oben:
[mm] $$(\*_1)\;\;\;\;\;\;\sum_{k=0}^n q^k=q^0+q^1+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
[/mm]
ist Dir für $q [mm] \not=-1$ [/mm] bekannt.
Aber
[mm] $$\sum_{\red{k=1}}^n q^k=q^1+q^2+...+q^n$$
[/mm]
hat das Manko, dass der Startindex nicht bei [mm] $0\,,$ [/mm] sondern bei [mm] $1\,$ [/mm] beginnt.
Ein möglicher Trick:
[mm] $$\sum_{\red{k=1}}^nq^k=q^1+...+q^n=\underbrace{(\red{q^0}+q^1+...+q^n)}_{=\sum_{k=0}^n q^k}\red{\;-\;q^0}$$
[/mm]
und auf den Ausdruck in der Klammer rechterhand kannst Du [mm] $(\*_1)$ [/mm]
anwenden.
Ein ALTERNATIVER Trick:
[mm] $$\sum_{\red{k=1}}^nq^k=q^1+...+q^n=q*(q^0+...+q^{\red{n-1}})=q*\sum_{k=0}^{\red{n-1}}q^k$$
[/mm]
und hier kann man [mm] $(\*_1)\,,$ [/mm] wenn man dort ÜBERALL [mm] $n\,$ [/mm] durch [mm] $n-1\,$
[/mm]
ersetzt, verwenden...
Das ist eigentlich analog zu der Vorgehensweise für die Formel mit der
unendlichen geometrischen Reihe - deswegen sagte ich, dass ich das
schonmal erwähnt hatte. Vielleicht nicht ganz in der passenden Form für
Dich hier, aber vom Prinzip her ist das vollkommen analog!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Sa 16.03.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Danke Marcel,
ich weiß Eure Hilfe zu schätzen. Ja das stimmt, manchmal sieht man die Logik hinter den Formeln nicht mehr. Aber mit jeder Aufgabe klappt es besser, zumal viele Eurer Ratschläge auf gelben Post-its in meiner Formelsammlung landen.
Gruß, Andreas
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sorry Marcel,
dass ich nicht auf deinen Artikel verwiesen habe. Wollt' mir bloß nicht den ganzen Thread durchlesen
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Sa 16.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> sorry Marcel,
> dass ich nicht auf deinen Artikel verwiesen habe.
na, so war das nicht gemeint.
> Wollt' mir bloß nicht den ganzen Thread durchlesen
Das erwarte ich auch nicht.
Mir ging's eher drum, Mathe-Andi drauf hinzuweisen, dass manches
schonmal zumindest in analoger Form vorgekommen ist. Mir geht's auch
nicht drum, ihm daraus einen Vorwurf zu machen, sondern ich denke
einfach, dass es einem mit solchen Hinweisen auch gelingt, das Auge des
Fragestellers ein wenig mehr zu schulen, bzw. ihn motiviert, ein bisschen
mehr nachzudenken, ob man "neu erscheinende Probleme" nicht vielleicht
einfach mit altem Wissen dennoch bearbeiten kann.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 Sa 16.03.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Ja jetzt stimmts.
[mm] s_{2}\approx4,067708333 \hat=\bruch{781}{192}
[/mm]
[mm] s=s_{1}-s_{2}=-\bruch{8}{45}-\bruch{781}{192}=-\bruch{36681}{8640}
[/mm]
Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Sa 16.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Andi,
ich hab's jetzt nicht nachgerechnet, aber ich denke mal, dass Du das alles
nun auch selbst kontrollieren kannst bzw. es kontrolliert hast.
Eine Notationssache:
> Ja jetzt stimmts.
>
> [mm]s_{2}\approx4,067708333 \hat=\bruch{781}{192}[/mm]
Das würde heißen, dass [mm] $s_2$ [/mm] ungefähr den direkt darauffolgenden Wert
hat, und dass dieser Wert [mm] $781/192\,$ [/mm] entspricht. Das sieht alles nach
"ungefähr" aus.
Es ist doch sicher sinnvoller, zu sagen, dass [mm] $s_2$ [/mm] den Wert [mm] $781/192\,$
[/mm]
hat und dass dieser Bruch ungefähr [mm] $4,0677\,$ [/mm] ist (warum willst Du da
so viele Nachkommastellen mitführen?). Wobei ich in dieser Approximation
hier keinen Sinn sehe, da Du sie eh nicht weiter verwendest.
Also schreibe vielleicht
[mm] $$s_2=\frac{781}{192}\;\;\;\;\;\;(\approx 4,0677)\,,$$
[/mm]
wobei Du Dir dabei [mm] $(\approx [/mm] 4,0677)$ auch sparen kannst. Aber hier deutet
das auch die Klammer wenigstens an, dass das eigentlich eine nicht wirklich
benötigte Information ist!
Ansonsten: Ich vertraue nun darauf, dass Dir das nun alles klar geworden
ist und Du den Wert selbst richtig berechnet und kontrolliert hast. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Verzeih', dass ich gerade zu faul zum Nachrechnen bin.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Fr 15.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> also gilt für die zweite Summe:
>
> [mm]2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}(\bruch{1}{2})^{(2k+1)}=2\summe_{k=0}^{3}3^{(k-1)}(\bruch{1}{2})^{(2(k-1)+1)}[/mm]
> (?)
die zweite Summe war
[mm] $$2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}*\red{\left(\black{\bruch{1}{2}}\right)}^{2k+1}$$
[/mm]
Wenn Dich der Indexshift verwirrt, mach' es mit einer "verschiebenden
Hilfsvariablen":
Setze [mm] $\ell:=k+1\,.$ [/mm] Dann durchläuft [mm] $k\,$ [/mm] die ganzzahligen Werte von
[mm] $-1\,$ [/mm] bis [mm] $3\,$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $\ell$ [/mm] die ganzzahligen Werte von
[mm] $0\,$ [/mm] bis [mm] $4\,$ [/mm] durchläuft.
Weiter folgt mit [mm] $\ell=k+1 \iff k=\ell-1$
[/mm]
[mm] $$2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}*\red{\left(\black{\bruch{1}{2}}\right)}^{2k+1}=2\summe_{k=-1}^{k=3}3^{k}*\red{\left(\black{\bruch{1}{2}}\right)}^{2k+1}=2\summe_{\ell=0}^{\ell=4}3^{\ell-1}*\red{\left(\black{\bruch{1}{2}}\right)}^{2*(\ell-1)+1}=2\summe_{\ell=0}^{4}3^{\ell-1}*\red{\left(\black{\bruch{1}{2}}\right)}^{2*(\ell-1)+1}=\ldots$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Fr 15.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Prüfen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz und bestimmen
> Sie ggf. den Grenzwert.
>
> [mm]S=3\summe_{k=4}^{\infty}\bruch{(-2)^{k-1}}{3^{k}}-2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}*\bruch{1}{2}^{2k+1}[/mm]
zu Deiner Überschrift: da stehen keine zwei Reihen, sondern nur EINE
Reihe! (Was ist übrigens eine Reihe erstmal rein per Definitionem? Kannst
Du mir das mal beantworten?).
Und bei dieser Reihe "gibt es immer einen Summanden":
[mm] $$2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}*\red{\left(\black{\bruch{1}{2}}\right)}^{2k+1}$$
[/mm]
der von jedem Folgenglied der Reihe [mm] $3\summe_{k=4}^{\infty}\bruch{(-2)^{k-1}}{3^{k}}$ [/mm] abgezogen wird.
Und diesen Summanden:
[mm] $$2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}*\red{\left(\black{\bruch{1}{2}}\right)}^{2k+1}$$
[/mm]
kannst Du konkret AUSRECHNEN; das ist etwa so schwer wie
[mm] $$\sum_{k=1}^5 a_k$$
[/mm]
für konkret gegebene [mm] $a_k$ [/mm] auszurechnen.
Die Reihe
[mm] $$3\summe_{k=4}^{\infty}\bruch{(-2)^{k-1}}{3^{k}}$$
[/mm]
kannst Du dann getrennt betrachten, denn sie steht natürlich mit Deiner
Reihe, wie oben schon erwähnt, in direkter Verbindung - und sie erinnert
natürlich an die geometrische Reihe
[mm] $$\sum_{k=N}^\infty q^k=\sum_{k=0}^\infty q^k -\sum_{k=0}^{N-1}q^k=\frac{1}{1-q}-\frac{1-q^N}{1-q}=\frac{q^N}{1-q}$$
[/mm]
für alle $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] und $N [mm] \in \IN_0\,.$
[/mm]
P.S. Alternative Herleitung der letzten Formel:
[mm] $$\sum_{k=N}^\infty q^k=q^N*\sum_{k=N}^\infty q^{k-N}=q^N*\sum_{\ell=0}^\infty q^{\ell}=q^N*\frac{1}{1-q}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
per Definition, ist eine Reihe die Folge ihrer Partialsummen.
Aber ist die Reihe S nicht gleich der Differenz der beiden anderen Reihen? So habe ich das aufgefasst.
Gruß, Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Fr 15.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andi,
> Hallo Marcel,
>
> per Definition, ist eine Reihe die Folge ihrer
> Partialsummen.
> Aber ist die Reihe S nicht gleich der Differenz der beiden
> anderen Reihen?
Na, das hier:
[mm] $$2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}\cdot{}\red{\left(\black{\bruch{1}{2}}\right)}^{2k+1}$$
[/mm]
ist eine endliche Summe bzw. eine Summe bestehend aus ENDLICH VIELEN
Summanden. Sowas zu berechnen lernt man ungefähr auf dem ersten
oder zweiten Übungsblatt.
Entsprechend meint, für festes [mm] $x\,,$ [/mm] eine Reihe
[mm] $$\sum_{k=N}^\infty a_k\;-\;x$$
[/mm]
nichts anderes als die Folge [mm] $(s_k)_{k=N}^\infty$ [/mm] der Teilsummen
[mm] $$s_k:=\sum_{\ell=N}^k a_\ell\;-\;x\;\;\;\text{ für alle ganzen }k \ge N\,.$$
[/mm]
Bei Dir ist
[mm] $$x=2\summe_{k=-1}^{3}3^{k}\cdot{}\red{\left(\black{\bruch{1}{2}}\right)}^{2k+1}\,,$$
[/mm]
an anderer Stelle habe ich dafür [mm] $S_2$ [/mm] geschrieben!
Gruß,
Marcel
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