Summe auflösen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Mi 06.05.2015 | | Autor: | WasZum |
| Aufgabe 1 | | a) Löse die Summe auf: [mm] \summe_{j=1}^{n} \wurzel[n]{3^{j}} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} 3^{\bruch{j}{n}} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | b) Löse die Summe auf: [mm] \summe_{j=1}^{n} 2^{-\bruch{j}{n}+\bruch{1}{n}}*(2^{\bruch{1}{n}}-1) [/mm] |
Hallo,
ich weiß, dass das Ergebnis für a) = [mm] \bruch{2*3^{\bruch{1}{n}}}{3^{\bruch{1}{n}}-1} [/mm] und für b) = [mm] 2^{\bruch{1}{n}-1} [/mm] ist.
Mir ist auch die Beziehung [mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] j = [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] bekannt, ich weiß aber nicht ob diese hier überhaupt angewand werden muss.
Ich würde mich wirklich freuen, wenn jemand mir erklären könnte, wie ich auf diese Ergebnisse komme. Ich komme leider nicht drauf.
Vielen Dank und liebe Grüße,
WasZum
Nur für Erst-Poster
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eine Möglichkeit diese Aufgabe zu lösen wäre mittels Induktion.
Du bist hier in der Situation, dass du das Ergebnis ja kennst. Das nimmt dir sehr viel Arbeit ab.
Angenommen du würdest diese Lösungen nicht kennen. Dann hättest du nun folgendes zu tun.
Und zwar musst du dann ein Bildungsgesetz erkennen.
Zum Beispiel:
[mm] $\sum_{k=0}^n [/mm] k$ (die dir ebenfalls bekannt Summe)
Und du möchtest jetzt eine explizite Formel angeben, dann gehst du etwa so vor, dass du ein paar Werte einsetzt und dann ausrechnest.
Für n=0
[mm] $\sum_{k=0}^0 [/mm] k=0$
Für n=1
[mm] $\sum_{k=0}^1 [/mm] k=1$
Für n=2
[mm] $\sum_{k=0}^2 [/mm] k=3$
Für n=3
[mm] $\sum_{k=0}^3 [/mm] k=6$
Du hast nun also die Folgeglieder 0,1,3,6 und möchtest nun dir das ausrechnen weiterer Summen ersparen und eine Formel angeben die das erfüllt. Du überlegst dir also eine entsprechende Formel für die dir bekannten Werte und hoffst, dass dies dann auch wirklich die Formel ist, die gesucht wird.
Hier wäre das dann das bekannt [mm] $\frac{n(n+1)}{2}$.
[/mm]
Du vermutest also
[mm] $\sum_{k=0}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$
[/mm]
Um zu zeigen, dass die Formel hält was sie verspricht, führst du dann einen Beweis durch Induktion.
So hättest du auch bei deiner Aufgabe hier vorgehen können.
Die Formeln kennst du bereits, also brauchst du nur noch die Induktion.
Solche Formeln zu erkennen geht manchmal relativ gut, aber kann auch ziemlich knifflig (und natürlich auch unmöglich) werden. Dies ist also kein Allheilmittel für solche Aufgaben, aber ich finde das immer recht schön.
Bei der b) müsstest du das Ergebnis aus a) verwenden können. Da wäre das dann also nicht mehr nötig. Ich bin mir aber gerade selber noch nicht 100% sicher ob das wirklich geht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Mi 06.05.2015 | | Autor: | abakus |
> a) Löse die Summe auf: [mm]\summe_{j=1}^{n} \wurzel[n]{3^{j}}[/mm]
> = [mm]\summe_{j=1}^{n} 3^{\bruch{j}{n}}[/mm]
Hallo,
nur ein Sichwort: geometrische Reihe (allerdings endlich und nicht mit j=0 beginnend).
Gruß Abakus
> b) Löse die Summe
> auf: [mm]\summe_{j=1}^{n} 2^{-\bruch{j}{n}+\bruch{1}{n}}*(2^{\bruch{1}{n}}-1)[/mm]
>
> Hallo,
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> ich weiß, dass das Ergebnis für a) =
> [mm]\bruch{2*3^{\bruch{1}{n}}}{3^{\bruch{1}{n}}-1}[/mm] und für b)
> = [mm]2^{\bruch{1}{n}-1}[/mm] ist.
>
> Mir ist auch die Beziehung [mm]\summe_{j=1}^{n}[/mm] j =
> [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm] bekannt, ich weiß aber nicht ob diese
> hier überhaupt angewand werden muss.
>
> Ich würde mich wirklich freuen, wenn jemand mir erklären
> könnte, wie ich auf diese Ergebnisse komme. Ich komme
> leider nicht drauf.
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> Vielen Dank und liebe Grüße,
> WasZum
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> Nur für Erst-Poster
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Mi 06.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Für q [mm] \ne [/mm] 1 ist
[mm] \summe_{j=0}^{n}q^j= \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
und
[mm] \summe_{j=1}^{n}q^j= \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}-1=q* \bruch{1-q^{n}}{1-q}
[/mm]
FRED
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