Summe / Schnitt Untergruppen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 Fr 01.10.2010 | | Autor: | daN-R-G |
| Aufgabe | [mm] 125\IZ [/mm] + [mm] 15\IZ [/mm] = [mm] n\IZ [/mm] mit n = ?
[mm] 125\IZ \cap 15\IZ [/mm] = [mm] n\IZ [/mm] mit n = ? |
Hallo!
Ich sitze grad an dieser Aufgabe, und stehe glaube ich ein wenig auf dem Schlauch.
Wie genau kann ich die n's bestimmen?
Bei [mm] 125\IZ [/mm] + [mm] 15\IZ [/mm] haben die elemente ja die Form [mm] 125z_1 [/mm] + [mm] 15z_2, [/mm] aber die Lösung [mm] 140\IZ [/mm] ist doch glaube ich nicht richtig, oder?
Bei [mm] 125\IZ \cap 15\IZ [/mm] müssen die Lösungen ja sowohl in [mm] 125\IZ [/mm] als auch in [mm] 15\IZ [/mm] liegen. Heißt das, dass das gesuchte n = ggt(125,15) = 5 ist?
Vll. ists auch einfach nur ein wenig spät und blicke nicht mehr ganz durch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Fr 01.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]125\IZ[/mm] + [mm]15\IZ[/mm] = [mm]n\IZ[/mm] mit n = ?
> [mm]125\IZ \cap 15\IZ[/mm] = [mm]n\IZ[/mm] mit n = ?
> Hallo!
>
> Ich sitze grad an dieser Aufgabe, und stehe glaube ich ein
> wenig auf dem Schlauch.
> Wie genau kann ich die n's bestimmen?
>
> Bei [mm]125\IZ[/mm] + [mm]15\IZ[/mm] haben die elemente ja die Form [mm]125z_1[/mm] +
> [mm]15z_2,[/mm] aber die Lösung [mm]140\IZ[/mm] ist doch glaube ich nicht
> richtig, oder?
Nun, $125 - 15 = 110$ liegt auch in der Summe, in $140 [mm] \IZ$ [/mm] dagegen nicht.
> Bei [mm]125\IZ \cap 15\IZ[/mm] müssen die Lösungen ja sowohl in
> [mm]125\IZ[/mm] als auch in [mm]15\IZ[/mm] liegen. Heißt das, dass das
> gesuchte n = ggt(125,15) = 5 ist?
5 liegt weder in [mm] $125\IZ$ [/mm] noch in [mm] $15\IZ$, [/mm] womit es auch nicht im Durchschnitt liegt; es liegt jedoch in [mm] $5\IZ$.
[/mm]
Den ggT brauchst du schon bei dieser Aufgabe, aber nicht hier.
Wenn du zuerst ein einfacheres Beispiel willst, ersetze die Untergruppen/Ideale oben durch [mm] $4\IZ$ [/mm] und [mm] $6\IZ$.
[/mm]
Und noch was: bedachte, dass $n [mm] \IZ \subseteq [/mm] m [mm] \IZ$ [/mm] genau dann gilt, wenn $m$ ein Teiler von $n$ ist. Damit solltest du auch ganz allgemien fuer $a [mm] \IZ [/mm] + b [mm] \IZ$ [/mm] und $a [mm] \IZ \cap [/mm] b [mm] \IZ$ [/mm] zum Ziel kommen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Sa 02.10.2010 | | Autor: | daN-R-G |
Okay... betrachte ich also zuerst einmal [mm] 4\IZ [/mm] und [mm] 6\IZ
[/mm]
[mm] 4\IZ [/mm] = {..., 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}
[mm] 6\IZ [/mm] = {..., 0, 6, 12, 18, 24, ...}
Da liegt nun also nahe, dass für [mm] 4\IZ \cap 6\IZ [/mm] gilt, dass n = kgv(4, 6) = 12 gilt...
4 und 6 sind ja auch ein Teiler von 12, also würde [mm] 12\IZ \subseteq 4\IZ [/mm] und [mm] 12\IZ \subseteq 6\IZ [/mm] ja auch gelten. Kann man das schonmal so sagen?
Bei der Summe vermute ich nun, dass man dort den ggT betrachten sollte. Hat man nun [mm] 4\IZ [/mm] + [mm] 6\IZ, [/mm] liegen dort ja {-2, 0, 2, 4, 6, ...} das entspräche ja auch dem ggT von 4 und 6, also 2. 100% schlüssig ists mir grad noch nicht, aber ich mach mir nochmal ein paar Gedanken!
Danke erstmal für die nette Unterstützung! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Sa 02.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Okay... betrachte ich also zuerst einmal [mm]4\IZ[/mm] und [mm]6\IZ[/mm]
>
> [mm]4\IZ[/mm] = {..., 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}
> [mm]6\IZ[/mm] = {..., 0, 6, 12, 18, 24, ...}
>
> Da liegt nun also nahe, dass für [mm]4\IZ \cap 6\IZ[/mm] gilt, dass
> n = kgv(4, 6) = 12 gilt...
> 4 und 6 sind ja auch ein Teiler von 12, also würde [mm]12\IZ \subseteq 4\IZ[/mm]
> und [mm]12\IZ \subseteq 6\IZ[/mm] ja auch gelten. Kann man das
> schonmal so sagen?
Ja, das ist so.
Jetzt versuche [mm] $4\IZ \cap 6\IZ \subseteq 12\IZ$ [/mm] zu begruenden. Dazu nimm dir am besten ein Element der linken Seite und zeige, dass es in $12 [mm] \IZ$ [/mm] liegt.
> Bei der Summe vermute ich nun, dass man dort den ggT
> betrachten sollte. Hat man nun [mm]4\IZ[/mm] + [mm]6\IZ,[/mm] liegen dort ja
> {-2, 0, 2, 4, 6, ...} das entspräche ja auch dem ggT von 4
> und 6, also 2.
Ja, das ist so.
> 100% schlüssig ists mir grad noch nicht,
> aber ich mach mir nochmal ein paar Gedanken!
Viel Erfolg :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Sa 02.10.2010 | | Autor: | daN-R-G |
Supi...
Um das ganze hier zukomplettieren, dürfte dann für das anfängliche Beispiel folgendes gelten:
[mm] 125\IZ [/mm] + [mm] 15\IZ [/mm] = [mm] 5\IZ, [/mm] es gilt auch [mm] 125\IZ \subseteq 5\IZ [/mm] und [mm] 15\IZ \subseteq 5\IZ
[/mm]
Für den Durchschnitt berechne ich den kgv: 125 = [mm] 5^3 [/mm] und 15 = [mm] 3^1 \cdot 5^1.
[/mm]
Es gilt also kgv(15, 125) = [mm] 3^1 \cdot 5^3 [/mm] = 375
Also [mm] 125\IZ \cap 15\IZ [/mm] = [mm] 375\IZ
[/mm]
Ich glaube, dass ich es dann nun verstanden habe :)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
es gilt auch [mm]125\IZ \subseteq 5\IZ[/mm]
