Suche einer Funktion? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:51 Do 28.06.2007 | | Autor: | Carlchen |
| Aufgabe | Gegeben sei eine zweimal stetig differenzierbare reelle Funktion f(x,y). Daraus ergibt sich eine zweimal stetig differenzierbare Funktion [mm]g(r,\phi) = f(x,y)[/mm], wobei [mm]x=rcos\phi , y=rsin\phi[/mm] ist.
Man zeige:
[mm]\bruch{\partial ^2 g}{\partial r^2}+\bruch{1}{r} \bruch{\partial g}{\partial r} + \bruch{1}{r^2} \bruch{\partial ^2 g}{\partial \phi ^2} = \bruch{ \partial ^2 f}{\partial x^2} + \bruch{ \partial ^2 f}{\partial y^2}[/mm] |
Hi Leute,
Anscheinend muss ich hier wohl eine Funktion suchen/finden, die diese Gleichung erfüllt? Bin mir nicht so sicher, was ich genau machen muss und hoffe, dass mir jemand von euch einen Tipp geben kann.
Grüße
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Hallo Carlchen!
> Gegeben sei eine zweimal stetig differenzierbare reelle
> Funktion f(x,y). Daraus ergibt sich eine zweimal stetig
> differenzierbare Funktion [mm]g(r,\phi) = f(x,y)[/mm], wobei
> [mm]x=rcos\phi , y=rsin\phi[/mm] ist.
>
> Man zeige:
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> [mm]\bruch{\partial ^2 g}{\partial r^2}+\bruch{1}{r} \bruch{\partial g}{\partial r} + \bruch{1}{r^2} \bruch{\partial ^2 g}{\partial \phi ^2} = \bruch{ \partial ^2 f}{\partial x^2} + \bruch{ \partial ^2 f}{\partial y^2}[/mm]
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> Hi Leute,
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> Anscheinend muss ich hier wohl eine Funktion suchen/finden,
> die diese Gleichung erfüllt? Bin mir nicht so sicher, was
> ich genau machen muss und hoffe, dass mir jemand von euch
> einen Tipp geben kann.
Nein, du sollst einfach Obiges zeigen. Da g und f in gewisser Weise zusammenhängen, werden auch die Ableitungen irgendwie zusammenhängen. Und die musst du "berechnen" und dann alles so umformen, dass sich die zu zeigende Gleichung ergibt.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Do 28.06.2007 | | Autor: | Carlchen |
> Hallo Carlchen!
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> > Gegeben sei eine zweimal stetig differenzierbare reelle
> > Funktion f(x,y). Daraus ergibt sich eine zweimal stetig
> > differenzierbare Funktion [mm]g(r,\phi) = f(x,y)[/mm], wobei
> > [mm]x=rcos\phi , y=rsin\phi[/mm] ist.
> >
> > Man zeige:
> >
> > [mm]\bruch{\partial ^2 g}{\partial r^2}+\bruch{1}{r} \bruch{\partial g}{\partial r} + \bruch{1}{r^2} \bruch{\partial ^2 g}{\partial \phi ^2} = \bruch{ \partial ^2 f}{\partial x^2} + \bruch{ \partial ^2 f}{\partial y^2}[/mm]
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> >
> > Hi Leute,
> >
> > Anscheinend muss ich hier wohl eine Funktion suchen/finden,
> > die diese Gleichung erfüllt? Bin mir nicht so sicher, was
> > ich genau machen muss und hoffe, dass mir jemand von euch
> > einen Tipp geben kann.
>
> Nein, du sollst einfach Obiges zeigen. Da g und f in
> gewisser Weise zusammenhängen, werden auch die Ableitungen
> irgendwie zusammenhängen. Und die musst du "berechnen" und
> dann alles so umformen, dass sich die zu zeigende Gleichung
> ergibt.
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
Hi Bastiane,
Versteh ich irgendwie nicht so ganz.
Ich hab einfach mal die Ableitungen gebildet, die ich so brauche (denk ich).
[mm]\bruch{\partial x}{\partial r} = cos \phi[/mm]
[mm]\bruch{\partial y}{\partial r} = sin \phi[/mm]
[mm]\bruch{\partial ^2 x}{\partial r^2} = 0[/mm]
[mm]\bruch{\partial ^2 y}{\partial r^2} = 0[/mm]
[mm]\bruch{\partial x}{\partial \phi} = -rsin \phi[/mm]
[mm]\bruch{\partial y}{\partial \phi} = rcos \phi[/mm]
[mm]\bruch{\partial ^2 x}{\partial \phi ^2} = -rcos \phi[/mm]
[mm]\bruch{\partial ^2 y}{\partial \phi ^2} = -rsin \phi[/mm]
Und nu? Jetzt weiß ich nicht weiter, wie g respektive f aussehen muss. Bin verwirrt... :S
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Hallo Carlchen!
> > Hallo Carlchen!
> >
> > > Gegeben sei eine zweimal stetig differenzierbare reelle
> > > Funktion f(x,y). Daraus ergibt sich eine zweimal stetig
> > > differenzierbare Funktion [mm]g(r,\phi) = f(x,y)[/mm], wobei
> > > [mm]x=rcos\phi , y=rsin\phi[/mm] ist.
> > >
> > > Man zeige:
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial ^2 g}{\partial r^2}+\bruch{1}{r} \bruch{\partial g}{\partial r} + \bruch{1}{r^2} \bruch{\partial ^2 g}{\partial \phi ^2} = \bruch{ \partial ^2 f}{\partial x^2} + \bruch{ \partial ^2 f}{\partial y^2}[/mm]
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> > >
> > > Hi Leute,
> > >
> > > Anscheinend muss ich hier wohl eine Funktion suchen/finden,
> > > die diese Gleichung erfüllt? Bin mir nicht so sicher, was
> > > ich genau machen muss und hoffe, dass mir jemand von euch
> > > einen Tipp geben kann.
> >
> > Nein, du sollst einfach Obiges zeigen. Da g und f in
> > gewisser Weise zusammenhängen, werden auch die Ableitungen
> > irgendwie zusammenhängen. Und die musst du "berechnen" und
> > dann alles so umformen, dass sich die zu zeigende Gleichung
> > ergibt.
> >
> > Viele Grüße
> > Bastiane
> >
>
> Hi Bastiane,
>
> Versteh ich irgendwie nicht so ganz.
> Ich hab einfach mal die Ableitungen gebildet, die ich so
> brauche (denk ich).
>
> [mm]\bruch{\partial x}{\partial r} = cos \phi[/mm]
> [mm]\bruch{\partial y}{\partial r} = sin \phi[/mm]
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> [mm]\bruch{\partial ^2 x}{\partial r^2} = 0[/mm]
> [mm]\bruch{\partial ^2 y}{\partial r^2} = 0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial x}{\partial \phi} = -rsin \phi[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial y}{\partial \phi} = rcos \phi[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial ^2 x}{\partial \phi ^2} = -rcos \phi[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial ^2 y}{\partial \phi ^2} = -rsin \phi[/mm]
>
> Und nu? Jetzt weiß ich nicht weiter, wie g respektive f
> aussehen muss. Bin verwirrt... :S
Die Ableitungen brauchst du doch gar nicht. Jedenfalls steht da nirgendwo etwas davon. Du musst aber auf jeden Fall g ableiten. Probier das doch mal.
Viele Grüße
Bastiane
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Do 28.06.2007 | | Autor: | Carlchen |
Überseh ich da irgendwas? Ich weiß doch garnicht wie g aussieht. Wenn ich das wüsste, dann könnt ich ja auch die Abl. bilden. Doch g ist ja nicht explizit gegeben oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Do 28.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
doch, du weisst [mm] g(r,\phi)=f(rcos\phi,rsin\phi)
[/mm]
und du kennst die Kettenregel!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Carlchen |
Okay, ich denke, ich weiß nun worauf ihr hinaus wollt.
Probier ich's einfach mal:
[mm]g(r,\phi)=f(rcos\phi,rsin\phi)[/mm]
mit Kettenregel würde dann folgen(?):
[mm]\bruch{\partial g}{\partial r} = f'(rcos\phi,rsin\phi)(cos\phi,sin\phi)[/mm]
[mm]\bruch{\partial ^2 g}{\partial r^2} = f''(rcos\phi,rsin\phi)(cos\phi,sin\phi)(cos\phi,sin\phi)=f''(rcos\phi,rsin\phi)(cos^2\phi,sin^2\phi)[/mm]
[mm]\bruch{\partial g}{\partial \phi} = f'(rcos\phi,rsin\phi)(-rsin\phi,rcos\phi)[/mm]
[mm]\bruch{\partial ^2 g}{\partial \phi ^2} = f''(rcos\phi,rsin\phi)(r^2sin^2\phi,r^2cos^2\phi)-f'(rcos\phi,rsin\phi)(rcos\phi,rsin\phi)[/mm]
So. Und das setz ich nun in besagte formel ein:
[mm]f''(rcos\phi,rsin\phi)(cos^2\phi,sin^2\phi) + \bruch{1}{r}f'(rcos\phi,rsin\phi)(cos\phi,sin\phi)+\bruch{1}{r^2}f''(rcos\phi,rsin\phi)(r^2sin^2\phi,r^2cos^2\phi)-\bruch{1}{r^2}f'(rcos\phi,rsin\phi)(rcos\phi,rsin\phi) = \bruch{\partial ^2 f}{\partial x^2}+\bruch{\partial ^2 f}{\partial y^2}[/mm]
Soweit richtig, oder?
Wie fahr ich jetzt am besten fort damit?
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Fr 29.06.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Was soll denn f' sein? Da f von zwei Variablen abhängt, musst du schon angeben, nach was abgeleitet wird. Und dann musst du gucken, ob da nicht was wegfällt - da stehen dann ja sowohl links als auch rechts neben dem Gleichheitszeichen Ableitungen von f.
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Fr 29.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie Bastiane schon sagte, leider ziemlich falsch.
Ich fang mal an:
[mm] \bruch{\partial g}{\partial r}=\bruch{\partial f}{\partial x}*cos\phi+\bruch{\partial f}{\partial y}*sin\phi
[/mm]
Das jetzt nochmal ableiten nach r, dabei auf Produkt und Kettenregel achten! (gemischte Ableitung nicht vergessen!)d.h. beide Summanden nach x und y ableiten!)
Entsprechend mit der Ableitung nach [mm] \phi.
[/mm]
am Ende die linke Summe bilden und siehe da, unter Verwendung von [mm] sin^2+cos^2=1 [/mm] hast du das Resultat.
Gruss leduart
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