Substitutionsverfahren DGL 1 < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Fr 26.02.2010 | | Autor: | kuba |
| Aufgabe | Aufabe
[mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] = (x + [mm] t)^2 [/mm] -1.
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gHallo,
ich bin dabei folgende Aufabe zu lösen [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] = (x + [mm] t)^2 [/mm] -1.
Ich habe es versucht mit der Substitution zu lösen und mein Rechenweg sieht so aus:
z=x+t
Z'=x'+1= [mm] z^2 [/mm] -1 [mm] +1=z^2
[/mm]
Dann habe ich die Variablen etrennt und integriert.
[mm] z'=z^2
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}z^{-2} [/mm] dz= [mm] \integral_{}^{} [/mm] dx
[mm] \bruch{-1}{3} z^{-3}=x [/mm] + C
hier bin ich stehen geblieben und weiss nicht mehr weiter. Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand mir helfen könnte.
Gruss Kuba
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Fr 26.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo kuba und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du hast einfach z' geschrieben, meinst aber [mm] \bruch{dz}{dt}.
[/mm]
Bei der Integration hast dus vergessen und plötzlich wieder x
ausserdem hast du links differenziert statt integriert.
Wenn du die 2 Fehler verbesserst, kommst du sicher selbst weiter.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Sa 27.02.2010 | | Autor: | kuba |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{dx}{dt}=(x+t)^2 [/mm] - 1 Anfangswertproblem: x(0)=1 |
Hallo Leduart,
ich habe versucht meine Fehler zu verbessern und bin leider nicht auf eine Lösung gekommen.
Hier ist mein Rechenweg:
(1) [mm] \bruch{dx}{dt}=(x+t)^2-1 [/mm] Anfangswertproblem: x(0)=1
(2) z=x+t
(3) [mm] \bruch{dz}{dt}= \bruch [/mm] {dx}{dt} + [mm] \bruch{t}{dt}
[/mm]
[mm] =\bruch{dx}{dt} [/mm] +1
[mm] =z^2 [/mm] -1 + 1
[mm] =z^2
[/mm]
(4) Trennung der Variablen:
[mm] \bruch{dz}{dt}=z^2
[/mm]
[mm] \bruch {dz}{z^2}= [/mm] dt
[mm] -\bruch{1}{z}= [/mm] t+ c
-1=(t+c)*z
- [mm] \bruch{1}{t+c}=z
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{t+c}=x+t
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{t+c}-t=x
[/mm]
Wenn ich diese Funktion nach t ableite komme ich nie auf die Ursprungsfunktion. Kannst du mir sagen wo mein Fehler ist.
Vielen Dank und Gruss Kuba
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> [mm]\bruch{dx}{dt}=(x+t)^2[/mm] - 1 Anfangswertproblem: x(0)=1
> Hallo Leduart,
>
> ich habe versucht meine Fehler zu verbessern und bin leider
> nicht auf eine Lösung gekommen.
> Hier ist mein Rechenweg:
>
> (1) [mm]\bruch{dx}{dt}=(x+t)^2-1[/mm] Anfangswertproblem: x(0)=1
>
> (2) z=x+t
> (3) [mm]\bruch{dz}{dt}= \bruch[/mm] {dx}{dt} + [mm]\bruch{t}{dt}[/mm]
> [mm]=\bruch{dx}{dt}[/mm] +1
> [mm]=z^2[/mm] -1 + 1
> [mm]=z^2[/mm]
> (4) Trennung der Variablen:
> [mm]\bruch{dz}{dt}=z^2[/mm]
>
> [mm]\bruch {dz}{z^2}=[/mm] dt
>
> [mm]-\bruch{1}{z}=[/mm] t+ c
>
> -1=(t+c)*z
>
> - [mm]\bruch{1}{t+c}=z[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{t+c}=x+t[/mm]
>
> [mm]-\bruch{1}{t+c}-t=x[/mm]
>
> Wenn ich diese Funktion nach t ableite komme ich nie auf
> die Ursprungsfunktion. Kannst du mir sagen wo mein Fehler
> ist.
>
> Vielen Dank und Gruss Kuba
>
>
die probe klappt doch?
[mm] x=-\frac{1}{t+c}-t
[/mm]
das differenziert ist
[mm] x'=\frac{1}{(t+c)^2}-1
[/mm]
und [mm] (x+t)^2-1 [/mm] (also die rechte seite) ergibt dasselbe
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Sa 27.02.2010 | | Autor: | kuba |
Hallo Tee,
irgendwie kann ich das nicht nachvollziehen.
Wir haben das Anfangswertproblem x(0)=1
Meine Ergebnis war :
x(t) [mm] =-\bruch{1}{t+c} [/mm] -t
x(0)=> 1 = [mm] -\bruch{1}{0+c}-0 [/mm]
1 = [mm] -\bruch{1}{c}
[/mm]
c= -1
x(t) = [mm] -\bruch{1}{t-1} [/mm] - t
Quotientenregel
[mm] \bruch{dx}{dt}= -\bruch{0*(t-1) - 1}{(t-1)^2} [/mm] - 0
[mm] \bruch{dx}{dt}= \bruch{1}{(t-1)^2}
[/mm]
und das ist doch nicht gleich [mm] (x+t)^2 [/mm] -1
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> Hallo Tee,
>
> irgendwie kann ich das nicht nachvollziehen.
>
> Wir haben das Anfangswertproblem x(0)=1
>
> Meine Ergebnis war :
>
> x(t) [mm]=-\bruch{1}{t+c}[/mm] -t
>
> x(0)=> 1 = [mm]-\bruch{1}{0+c}-0[/mm]
>
> 1 = [mm]-\bruch{1}{c}[/mm]
> c= -1
>
> x(t) = [mm]-\bruch{1}{t-1}[/mm] - t
>
> Quotientenregel
>
> [mm]\bruch{dx}{dt}= -\bruch{0*(t-1) - 1}{(t-1)^2}[/mm] - 0
>
> [mm]\bruch{dx}{dt}= \bruch{1}{(t-1)^2}[/mm]
>
> und das ist doch nicht gleich [mm](x+t)^2[/mm] -1
dann setzen wir doch bei [mm] (x+t)^2-1 [/mm] mal das x von oben ein
[mm] (-\frac{1}{t-1}-t+t)^2-1=\frac{1}{(t-1)^2}-1
[/mm]
und das sieht dem x' doch ganz ähnlich (vorrausgesetzt t nach t abgeleitet ist "1" und nicht wie du schreibst "0")
gruß tee
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