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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Sa 25.02.2012 | | Autor: | mili03 |
Hallo,
ich habe eine Frage zur Substitutionsregel.
Wenn [mm] f:\IR^N\to\IR^N [/mm] ein stetige (integrierbare) Funktion ist, so gilt m. E.
[mm] \int_{\IR^N} f(-x)dx=\int_{\IR^N} [/mm] f(x)dx,
weil in beiden Fällen x den kompletten [mm] \IR^N [/mm] durchläuft. Stimmt das?
Was mich verwirrt, ist im Gegensatz die Substitutionsregel. Hier für den Fall N=1. Dann würde doch folgen mit z=-x
[mm] \int_\IR f(-x)dx=\int_\IR [/mm] -f(z)dz
weil die Ableitung von -x ja -1 ist. Könnte mir das bitte jemand erklären?
Vielen Dank,
mili
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> Hallo,
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> ich habe eine Frage zur Substitutionsregel.
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> Wenn [mm]f:\IR^N\to\IR^N[/mm] ein stetige (integrierbare) Funktion
> ist, so gilt m. E.
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> [mm]\int_{\IR^N} f(-x)dx=\int_{\IR^N}[/mm] f(x)dx,
>
> weil in beiden Fällen x den kompletten [mm]\IR^N[/mm] durchläuft.
> Stimmt das?
ja
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> Was mich verwirrt, ist im Gegensatz die Substitutionsregel.
> Hier für den Fall N=1. Dann würde doch folgen mit z=-x
>
> [mm]\int_\IR f(-x)dx=\int_\IR[/mm] -f(z)dz
>
> weil die Ableitung von -x ja -1 ist. Könnte mir das bitte
> jemand erklären?
bei der Substitution ändern sich auch die Integrationsgrenzen entsprechend. Es ist
[mm] \int_{-a}^af(x)dx=\int_a^{-a}-f(z)dz=\int_{-a}^a+f(z)dz,
[/mm]
d.h. es gibt zwei Vorzeichenwechsel, die sich gegenseitig aufheben.
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> Vielen Dank,
> mili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:45 Sa 25.02.2012 | | Autor: | mili03 |
danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 So 26.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Mit [mm] \phi(x):=-x [/mm] (x [mm] \in \IR^n) [/mm] und der Transformtionsregel (http://de.wikipedia.org/wiki/Transformationssatz) ist
$ [mm] \int_{\IR^N} f(x)dx=\int_{\IR^N} f(\phi(x))*|det(\phi'(x)|dx=\int_{\IR^N} [/mm] f(-x)dx$
FRED
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