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| Aufgabe | | Substitutionsregel....Berechnen Sie das folgende unbestimmte INtegral |
[mm] \integral \bruch{1}{9+2x^2}dx
[/mm]
Wie weiss ich welchen Teil dieses INtegrals ich als Variable u definieren soll, damit ich mit Hilfe der Substitutionsregel es am einfachsten habe, dieses INtegral zu lösen?
Viele Dank im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Di 21.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Sieh mal hier, da wurde dieselbe Frage in allgemeiner Form gestellt und beantwortet.
Gruß
Loddar
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Danke für den Hinweis, jedoch habe ich die Lösung selber auch aber ich würde nie selber drauf kommen. Die Frage die sich mir stellt ist: WIe erkenne ich was ich Substituieren muss. Kannst du mir da weiter helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Di 21.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Gerade beim Integrieren kommt es auf eine Menge Übung und "Erfahrung" an, so dass man keine Pauschalformel / Vorgehensweise nennen kann.
In diesem speziellen Fall erinnert die zu integrierende Funktion an die Ableitung des [mm] $\arctan(x)$ [/mm] , so dass diese Substitution naheliegt.
Gruß
Loddar
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Dank schon mal.
Du hast Recht, dass die zu integrierende Funktion an die Ableitung des Arctan erinnert. Wieso aber dann [mm] \wurzel {\bruch {a}{b}} [/mm] tan(z)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Di 21.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Forme(l) wie folgt um:
[mm] $$\bruch{1}{a+b*x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a*\left(1+\bruch{b}{a}*x^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a}*\bruch{1}{1+\bruch{x^2}{\bruch{a}{b}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a}*\bruch{1}{1 + \left( \bruch{x}{ \wurzel{ \bruch{a}{b} } } \right)^2 }$$
[/mm]
Siehst Du es nun?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Di 21.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Daniel!
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> Formel wie folgt um:
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Hallo Loddar,
sehr schön: "umformeln"
das wäre etwas für reverends Sammlung
Gruß FRED
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[mm] \bruch{1}{a}\cdot{}\bruch{1}{1 + \left( \bruch{x}{ \wurzel{ \bruch{a}{b} } } \right)^2 } [/mm]
ok jetzt ist es mir sehr deutlcih, muss wirklich sagen, dass du gut erklären kannst. wie ich es verstanden habe setzen wir jetzt [mm] u=\bruch{x}{ \wurzel{ \bruch{a}{b} } } [/mm] in meinem fall wäre das u= [mm] \bruch{x}{ \wurzel{ \bruch{9}{2} } } [/mm] was man auch als u= [mm] \bruch{x\wurzel{2}}{ {3} } [/mm] schreiben kann. dann nach x ableiten also du/dx. dieses nach dx auflösen. dieses widerrum in das integral einsetzten. nach u integrieren. später u bzw [mm] \bruch{x\wurzel{2}}{ {3} } [/mm] einfügen und fertig ist das ergebnis. so weit so gut. was hat das jetzt widerrum mit dem von dir vorher erklärtem [mm] \wurzel{\bruch{a}{b}} \cdot [/mm] tan(z) zu tun. was ist überhaubt z?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Di 21.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Nochmal ergänzend zu Al-Chwarizmi's Antwort ...
> was hat das jetzt widerrum mit dem von dir vorher erklärtem
> [mm]\wurzel{\bruch{a}{b}} \cdot[/mm] tan(z) zu tun.
Hier stellt sich doch noch die Frage, wie Du dann die Stammfunktion zu [mm] $\bruch{1}{1+u^2}$ [/mm] berechnest. Das geschieht nämlich gleich durch meine Subsitution.
> was ist überhaubt z?
Das ist doch egal, wie ich bei einer Substitution meine neue Variable benenne ... meinetwegen auch [mm] $\text{Erwin}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Di 21.04.2009 | | Autor: | Danielt23 |
Ja stimmt. DANKE sher nett von euch! Habs kapiert. Manchmal brauche ich es halt mit Äpfel und Birnen erklärt! :)
Lieben Gruss
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> Substitutionsregel....Berechnen Sie das folgende
> unbestimmte Integral
> [mm]\integral \bruch{1}{9+2x^2}dx[/mm]
>
> Wie weiss ich welchen Teil dieses Integrals ich als
> Variable u definieren soll, damit ich mit Hilfe der
> Substitutionsregel es am einfachsten habe, dieses Integral
> zu lösen?
Hallo,
mein Vorschlag wäre, schrittweise vorzugehen und
die notwendige Substitution selber herauszufinden.
Etwa so:
1.) Gibt es ein ähnliches integral, das mir bekannt ist ?
Ja, nämlich [mm]\integral \bruch{1}{1+z^2}\ dz\ =\ arctan(z)[/mm]
Jetzt ist das zwar noch nicht genau das, was wir
suchen ...
2.) Man könnte beim gesuchten Integral einen Faktor
[mm] \bruch{1}{9} [/mm] vor das Integral ziehen, dann sieht es so aus:
[mm] $\bruch{1}{9}*\integral \bruch{1}{1+\bruch{2}{9}x^2}\ [/mm] dx$
3.) Jetzt müssen wir nur noch den Ausdruck [mm] \bruch{2}{9}x^2 [/mm] mit
dem [mm] z^2 [/mm] im bekannten Integral identifizieren:
$\ [mm] z^2\ [/mm] =\ [mm] \bruch{2}{9}x^2$
[/mm]
Daraus ergibt sich dann die Substitution $\ z\ =\ [mm] \wurzel{\bruch{2}{9}}*x$ [/mm] ,
die dann auch tatsächlich zum Ziel führt.
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Di 21.04.2009 | | Autor: | Danielt23 |
Genau das wollte ich wissen. Sehr nett. Danke Al-Chwarizmi
Lieben Gruss
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![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
