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Substitutionsaufgabe: Trigonometrische Funktionen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:29 Sa 12.07.2014
Autor: Chugsworth

Aufgabe
Berechnen Sie mit Hilfe der Substitution t = [mm] \pi [/mm] - x das Integral

[mm] \integral_{0}^{\pi}{x sin(x) / (1 + cos ^2(x)) dx} [/mm]

Hallo Allerseits,

Obwohl ich schon die eine oder andere Substitution durchgeführt habe, komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Ich verstehe hierbei nicht, wie die vorgegebene Substitution t = [mm] \pi [/mm] - x weiterhelfen soll. Ich weiß, dass sin(x) = [mm] sin(\pi [/mm] - x) ist, aber was bringt mir das bei dieser Aufgabe?
Wenn ich das substituiere, habe ich doch nur sin(t) statt sin(x).

Brauche dringend einen denkanstoß!
Vielen Dank im voraus an jeden, der versucht, meine Frage zu beantworten.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Substitutionsaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:46 Sa 12.07.2014
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

> Berechnen Sie mit Hilfe der Substitution t = [mm]\pi[/mm] - x das
> Integral

>

> [mm]\integral_{0}^{\pi}{x sin(x) / (1 + cos ^2(x)) dx}[/mm]

Meinst du wirklich

[mm] \int\limits_{0}^{\pi}\frac{x\cdot\sin(x)}{1+\cos^{2}(x)}dx [/mm]

Denn [mm] \frac{x\cdot\sin(x)}{1+\cos^{2}(x)} [/mm] hat []keine elementare Stammfunktion

Dagegen ist
[mm] \int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sin(x)}{1+\cos^{2}(x)}dx [/mm]
sehr schön lösbar


> Hallo
> Allerseits,

>

> Obwohl ich schon die eine oder andere Substitution
> durchgeführt habe, komme ich bei dieser Aufgabe nicht
> weiter.
> Ich verstehe hierbei nicht, wie die vorgegebene
> Substitution t = [mm]\pi[/mm] - x weiterhelfen soll. Ich weiß, dass
> sin(x) = [mm]sin(\pi[/mm] - x) ist, aber was bringt mir das bei
> dieser Aufgabe?

Das frage ich mich hier auch.

> Wenn ich das substituiere, habe ich doch nur sin(t) statt
> sin(x).

>

> Brauche dringend einen denkanstoß!

Bevor du den bekommst, solltest du nochmal über die Aufgabe schauen

Marius

Bezug
                
Bezug
Substitutionsaufgabe: Kommentar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:57 Sa 12.07.2014
Autor: Chugsworth

Vielen dank für die schnelle Antwort!

Das ist ja wirklich interessant. Da frage ich mich, was da beim Aufgabensteller schiefgelaufen ist, denn die Aufgabe steht tatsächlich genau so auf dem Blatt, wie ich sie aufgeschrieben habe.

Also danke nochmal, ich werde die Aufgabe jetzt einfach überspringen, es sei denn, jemandem fällt noch eine Lösung ein (aber du meinst ja, dass es gar keine gibt. woran erkennt man das eigentlich?). Ich finde auch die vorgegebene Substitution höchst seltsam, ich hätte einen anderen Ansatz gewählt, und deine Version der Aufgabe kann ich auch lösen.

Bezug
                
Bezug
Substitutionsaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:55 Sa 12.07.2014
Autor: rmix22


> Meinst du wirklich
>  
> [mm]\int\limits_{0}^{\pi}\frac{x\cdot\sin(x)}{1+\cos^{2}(x)}dx[/mm]
>  

Ja, ja, das stimmt schon! Das ist kein Angabefehler (siehe meine Antwort auf die Frage).

> Denn [mm]\frac{x\cdot\sin(x)}{1+\cos^{2}(x)}[/mm] hat
> []keine elementare Stammfunktion

Das nicht, aber hier liegt der Trick darin, dass es sich um ein bestimmtes Integral handelt, bei dem sich dank der gewählten Grenzen durch die angegebene Substitution die Integralgrenzen "zufälligerweise" bloß vertauschen.
  

> Dagegen ist
>  [mm]\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\sin(x)}{1+\cos^{2}(x)}dx[/mm]
>  sehr schön lösbar

Ja, und das benötigt man auch bei der Lösung der gestellten Aufgabe.
Das Angabeintegral ist dann das Ergebnis dieses bestimmten Integrals multipliziert mit [mm] $\frac{\pi}{2}$, [/mm] also insgesamt [mm] $\frac{\pi^2}{4}$. [/mm]
Hier muss Wolfram Alpha allerdings passen und liefert nur einen numerischen Näherungswert.

>  > Brauche dringend einen denkanstoß!

>  
> Bevor du den bekommst, solltest du nochmal über die
> Aufgabe schauen
>  

Hat er getan und den Denkanstoß auch schon erhalten ;-)

Gruß RMix

Bezug
        
Bezug
Substitutionsaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 Sa 12.07.2014
Autor: rmix22


> Berechnen Sie mit Hilfe der Substitution t = [mm]\pi[/mm] - x das
> Integral
>  
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{x sin(x) / (1 + cos ^2(x)) dx}[/mm]
>  Hallo
> Allerseits,
>
> Obwohl ich schon die eine oder andere Substitution
> durchgeführt habe, komme ich bei dieser Aufgabe nicht
> weiter.

Nun, bei dem Beispiel handelt es sich keineswegs um einen Angabefehler und man kommt tatsächlich mit der vorgeschlagenen Substitution zum Ziel.
Substituiere wie angegeben, teile das sich ergebende Integral in eine Summe resp. Differenz von zwei Integralen auf und benütze die Beziehungen [mm] $sin(\pi-t)=sin(t)$, $cos(\pi-t)=-cos(t)$ [/mm] sowie die Tatsache, dass das Vertauschen der Integralgrenzen einen Vorzeichenwechsel bewirkt.
Du kommst auf die Differenz von einem Integral, welches du mit einer weiteren Standardsubstitution lösen kannst, und dem Angabeintegral (diesmal in t, aber das hat ja keinen Einfluss auf das Ergebnis). Du hast also eine Gleichung in dem gesuchten Integral, welche sich leicht lösen lässt.
Das Ergebnis ist übrigens [mm] $\frac{\pi^2}{4}$. [/mm]

Du wolltest ja nur einen Denkanstoß und so ist das hier auch vorgesehen. Aber wenn's noch wo klemmt, rühr dir einfach nochmal.

Gruß RMix

Bezug
                
Bezug
Substitutionsaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:58 So 13.07.2014
Autor: M.Rex

Hallo rmix.

Welch eine schöne Lösung, da habe ich nicht weit genug gedacht. Ich hatte die Substituion zwar auch noch gemacht, aber bin dann irgendwo steckengeblieben.

Marius

Bezug
                        
Bezug
Substitutionsaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:18 So 13.07.2014
Autor: rmix22

Hallo Marius


> Welch eine schöne Lösung, da habe ich nicht weit genug
> gedacht. Ich hatte die Substituion zwar auch noch gemacht,
> aber bin dann irgendwo steckengeblieben.
>  
> Marius

Ja, das Beispiel gefällt mir auch recht gut.

Meine erste Spontanreaktion war übrigens auch: "Angabefehler - geht nicht".  ;-)

Gruß RMix

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