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Forum "Integralrechnung" - Substitution x=sinh(z)
Substitution x=sinh(z) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Substitution x=sinh(z): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Sa 28.06.2008
Autor: AbraxasRishi

Aufgabe
[mm] \integral{\wurzel{1+x^2} dx} [/mm]

Hinweis:

x=sinh(z)

Hallo allerseits!

Ich weiß ja das ihr diese Aufgabe sicher schon oft gestellt bekommen habt, trotzdem möchte ich nochmal fragen wie diese Substitution funktioniert. Kapier das echt nicht alaine....[verwirrt]Würde mich sehr über eine Erklärung freuen.  [happy]

x=sinh(z)

Schon hier wundere ich mich: Warum steht nicht z=.....sondern x=......
Könnte man das nicht so umschreiben: z=arsinh(x)
Wie leitet man das dann ab?

Bei:

z=arsinh(x)

[mm] z'=\bruch{1}{\wurzel{x^2+1}} [/mm]


[mm] z'=\bruch{dz}{dx}=...... [/mm]

Wie geht das dann weiter bzw. was bringt diese Substitution überhaupt?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Gruß

Angelika
        
Bezug
Substitution x=sinh(z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:58 Sa 28.06.2008
Autor: koepper

Hallo,

> [mm]\integral{\wurzel{1+x^2} dx}[/mm]
>  
> Hinweis:
> x=sinh(z)
>  Hallo allerseits!
>  
> Ich weiß ja das ihr diese Aufgabe sicher schon oft gestellt
> bekommen habt, trotzdem möchte ich nochmal fragen wie diese
> Substitution funktioniert. Kapier das echt nicht
> alaine....[verwirrt]Würde mich sehr über eine Erklärung
> freuen.  [happy]
>  
> x=sinh(z)
>  
> Schon hier wundere ich mich: Warum steht nicht
> z=.....sondern x=......

damit es dir leichter fällt, einzusetzen.

>  Könnte man das nicht so umschreiben: z=arsinh(x)

man könnte.

>  Wie leitet man das dann ab?

Leite besser $x = [mm] \sinh [/mm] z$ ab:

Bedenke, daß [mm] $\sinh [/mm] z = [mm] \frac{e^z - e^{-z}}{2}$ [/mm] ist.

Das abzuleiten schaffst du sicher.

übrigens:  [mm] $\frac{e^z + e^{-z}}{2} [/mm] = [mm] \cosh [/mm] z$ ;-)

Nur so nebenbei...
Berechne doch bitte mal in Termen der e-Funktion die folgenden beiden Ausdrücke
[mm] $\sinh^2 [/mm] z + 1 = [mm] \ldots$ [/mm]
[mm] $\cosh^2 [/mm] z =  [mm] \ldots$ [/mm]

Gruß
Will
Bezug
                
Bezug
Substitution x=sinh(z): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 Sa 28.06.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo Will!

Danke für die Hilfe!
Ich glaub ich versteh jetzt zu was die Substitution gut ist.  [lichtaufgegangen]

Aber hier wird doch so Abgeleitet ,oder?:

[mm] x'=\bruch{dx}{du}=cosh(u) [/mm]

Es wird doch nicht u' sondern x' ermittelt, also auch [mm] \bruch{dx}{du} [/mm] nicht wie sonst   [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] .

Wei sonst dx ja [mm] \bruch{du}{cosh(u)} [/mm]  wäre, was ja nicht zutrifft.

Einsetzen:
[mm] \integral{\wurzel{1+sinh^2(u)}*cosh(u) du}=\integral{cosh^2(u) du} [/mm]



Weiter mit patieller Integration:


[mm] \integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{sinh^2(u) du}= [/mm]

[mm] \integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{cosh^2(u) du}+\integral{1 du} [/mm]

[mm] \integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{cosh^2(u) du}+u [/mm]


[mm] 2*\integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)+u [/mm]

[mm] \integral{cosh^2(u) du}=\bruch{cosh(u)*sinh(u)+u}{2} [/mm]

Resubst.

[mm] \integral{\wurzel{1+x^2}}=\bruch{\wurzel{1+x^2}*x+arsinh(x)}{2} [/mm]

Stimmt das so?

Gruß  :-)

Angelika
Bezug
                        
Bezug
Substitution x=sinh(z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Sa 28.06.2008
Autor: MathePower

Hallo AbraxasRishi,

> Hallo Will!
>  
> Danke für die Hilfe!
>  Ich glaub ich versteh jetzt zu was die Substitution gut
> ist.  [lichtaufgegangen]
>  
> Aber hier wird doch so Abgeleitet ,oder?:
>  
> [mm]x'=\bruch{dx}{du}=cosh(u)[/mm]
>  
> Es wird doch nicht u' sondern x' ermittelt, also auch
> [mm]\bruch{dx}{du}[/mm] nicht wie sonst   [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] .


Ja.


>  
> Wei sonst dx ja [mm]\bruch{du}{cosh(u)}[/mm]  wäre, was ja nicht
> zutrifft.
>  
> Einsetzen:
>  [mm]\integral{\wurzel{1+sinh^2(u)}*cosh(u) du}=\integral{cosh^2(u) du}[/mm]
>  
>
>
> Weiter mit patieller Integration:
>  
>
> [mm]\integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{sinh^2(u) du}=[/mm]
>  
> [mm]\integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{cosh^2(u) du}+\integral{1 du}[/mm]
>  
> [mm]\integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)-\integral{cosh^2(u) du}+u[/mm]
>  
>
> [mm]2*\integral{cosh^2(u) du}=cosh(u)*sinh(u)+u[/mm]
>  
> [mm]\integral{cosh^2(u) du}=\bruch{cosh(u)*sinh(u)+u}{2}[/mm]
>  
> Resubst.
>  
> [mm]\integral{\wurzel{1+x^2}}=\bruch{\wurzel{1+x^2}*x+arsinh(x)}{2}[/mm]
>  
> Stimmt das so?


Stimmt. [ok]


>  
> Gruß  :-)
>  
> Angelika


Gruß
MathePower
Bezug
                                
Bezug
Substitution x=sinh(z): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:59 Sa 28.06.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo Mathepower!

Danke für die Korrektur!!

Gruß

Angelika
Bezug
                                
Bezug
Substitution x=sinh(z): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Sa 28.06.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo!

ich hätte noch eine letzte Frage: Wie geht die Integration eigentlich bei [mm] \integral{\wurzel{a^2+x^2}dx}?? [/mm]
Hier kann man diese Methode ja nicht anwenden, da [mm] cosh(u)\not= \wurzel{a^2+sinh^2(u)}. [/mm]
Aber auch die Subst. von [mm] a^2+x^2=u [/mm] versagt, da u'=2x was sich nicht wegkürzt.
Was könnte man in so einem Fall substituieren?
Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich?

Vielen Dank!

Gruß  :-)

Angelika
Bezug
                                        
Bezug
Substitution x=sinh(z): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Sa 28.06.2008
Autor: MathePower

Hallo AbraxasRishi,

> Hallo!
>  
> ich hätte noch eine letzte Frage: Wie geht die Integration
> eigentlich bei [mm]\integral{\wurzel{a^2+x^2}dx}??[/mm]
>  Hier kann man diese Methode ja nicht anwenden, da
> [mm]cosh(u)\not= \wurzel{a^2+sinh^2(u)}.[/mm]
>  Aber auch die Subst.
> von [mm][mm] a^2+x^2=u[/m] [/mm] versagt, da u'=2x was sich nicht wegkürzt.
>  Was könnte man in so einem Fall substituieren?


Hier kann man [mm]x=a*\sinh\left(u\right)[/mm] substituieren.


>  Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich?
>  
> Vielen Dank!
>  
> Gruß  :-)
>  
> Angelika


Gruß
MathePower
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