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Substitution von Integralen: Rechenhilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 So 20.12.2009
Autor: Alpi

Aufgabe
Die folgenden unbestimmten Integrale können in der Form
g(f(x))*f´(x) dx dargestellt werden die Substitution y=f(x) führt dann zu g(f(x))*f´(x) dx= g(y) dy

Lösen Sie:

Integral von [mm] (x^3 -3x^2 [/mm] +3x) / [mm] (x^4 -4x^3 [/mm] +6x +20) dx  

Könnte mir bitte jemand dabei helfen, diese Aufgabe zu lösen.

Ich habe einen Ansatz genommen das u= [mm] x^4 -4x^3 +6x^2 [/mm] +20
u´= [mm] 4x^3 [/mm] - [mm] 12x^2 [/mm] +12x
f= ln g
f´= 1/g

ist.

Ist dieser Ansatz richtig?

Und wenn ja wie muss ich weiter vorgehen?

Danke schonmal


Mfg Alpi

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Substitution von Integralen: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 So 20.12.2009
Autor: Loddar

Hallo Alpi,

[willkommenmr] !!


Um hier nicht den Überblick zu verlieren, solltest Du auch die Variablennomenklatur aus der Vorgabe verwenden.


> Ich habe einen Ansatz genommen das u= [mm]x^4 -4x^3 +6x^2[/mm]+20

Besser: [mm] $\red{y} [/mm] \ = \ ...$


> u´= [mm]4x^3[/mm] - [mm]12x^2[/mm] +12x

Zur weiteren Verwendung solltest Du noch noch ausklammern:
$$y' \  = \ [mm] 4*\left(x^3-3x^2+3x\right)$$ [/mm]


> f= ln g
> f´= 1/g

[ok] Also lautet das Endergebnis (und den oben ausgklammerten Faktor nicht vergessen) ... ?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Substitution von Integralen: Ergebnis?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:15 So 20.12.2009
Autor: Alpi

Danke dir Loddar!

Also wenn ich das richtig verstanden habe, setze ich nun alles in die Gleichung

y*f- Integral y*f´

Sodass ich dann bekommen würde:

[mm] x^4 [/mm] - [mm] 4x^3 [/mm] + [mm] 6x^2+20 [/mm] * ln [mm] (x^4 -4x^3 +6x^2 [/mm] + 20) - Integral [mm] x^4 -4x^3 [/mm] + [mm] 6x^2 [/mm] + 20 * 1/ [mm] x^4 [/mm] - [mm] 4x^3 [/mm] +6x2 +20

Kann das stimmen?

Ich bekomme die Bestimmung der y und f Werte hin aber leider nicht das einsetzen in die Formel weil ich mir auch nicht sicher bin, ob ich die Richtige benutze und wenn doch, das ich dann machen muss.

Mfg Alpi

Bezug
                        
Bezug
Substitution von Integralen: Ergebnis?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 So 20.12.2009
Autor: Alpi

Danke dir Loddar!

Also wenn ich das richtig verstanden habe, setze ich nun alles in die Gleichung

y*f- Integral y*f´

Sodass ich dann bekommen würde:

$ [mm] x^4 [/mm] $ - $ [mm] 4x^3 [/mm] $ + $ [mm] 6x^2+20 [/mm] $ * ln $ [mm] (x^4 -4x^3 +6x^2 [/mm] $ + 20) - Integral $ [mm] x^4 -4x^3 [/mm] $ + $ [mm] 6x^2 [/mm] $ + 20 * 1/ $ [mm] x^4 [/mm] $ - $ [mm] 4x^3 [/mm] $ +6x2 +20

Kann das stimmen?

Ich bekomme die Bestimmung der y und f Werte hin aber leider nicht das einsetzen in die Formel weil ich mir auch nicht sicher bin, ob ich die Richtige benutze und wenn doch, das ich dann machen muss.

Mfg Alpi

Bezug
                                
Bezug
Substitution von Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:34 So 20.12.2009
Autor: leduart

Hallo
Du hast 2 Methoden durcheinander gebracht.
a)Substitution b) partielle Integration.
du hast doch [mm] :(ln(f(x))'=\bruch{f'(x)}{f(x} [/mm]
also [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{f'(x)}{f(x} dx}=ln(f(x)) [/mm]
bei dir war $f(x)= [mm] (x^4 -4x^3 +6x^2 [/mm]  + 20$
ln davon ist deine Lösung.
Du kannst deine Lösungen immer überprüfen, indem du wieder differenzierst.
(faktor 4, der ausgeklammert war fehlt natürlich noch)
Gruss leduart

Bezug
                                        
Bezug
Substitution von Integralen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:44 So 20.12.2009
Autor: Alpi

Ich danke euch beiden recht herzlich!

Mfg Alpi


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