Substitution bei Integralen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Boken |
Hallo! Ich habe eine Frage zur Substitution bei Integralen: Wann kann man dieses Schema anwenden? Nur bei bestimmten Funktionen (undwenn ja bei welchen 'Typen')? Oder generell immer?
und was heißt: "Der Term im Integral ergibt sich als das Produkt der inneren und äußeren Ableitung eines anderen Terms. Dieser muss bis auf einen konstanten Faktor gelten"
Vielen Dank für die Hilfe!
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Moin Boken!
> Hallo! Ich habe eine Frage zur Substitution bei Integralen: Wann kann man dieses
> Schema anwenden? Nur bei bestimmten Funktionen (undwenn ja bei welchen 'Typen')?
> Oder generell > immer?
Richtig, im Prinzip kannst Du immer substituieren. Allerdings müssen dabei die Regeln des jeweiligen mathematischen Raumes beachtet werden: Es funktioniert zum Beispiel nicht generell, bei Integration nach [mm]dx[/mm] im [mm]\IR[/mm] folgende Substitution vorzunehmen: [mm]\wurzel z = \cos x[/mm], da der cosinus ja auch negative Werte annimmt. Abgesehen davon, daß diese Substitution wenig hilfreich ist, wäre sie nur auf denjenigen Intervallen erlaubt, in welchen [mm]\cos x \ge 0[/mm] gilt.
> und was heißt: "Der Term im Integral
Dieser Term heißt Integrand.
> ergibt sich als das Produkt der inneren und äußeren Ableitung eines anderen Terms.
Die Stammfunktion der Funktion [mm]f(x)[/mm] ist bekanntlich [mm]F(x)[/mm]. Wenn beispielsweise gilt: [mm]F(x) = (3x-1)^2[/mm], könnte man mit [mm]z = 3x-1[/mm] auch [mm]F(z) = z^2[/mm] schreiben. [mm]F[/mm] ist also eine verschachtelte Funktion. Soll diese nun wieder nach [mm]x[/mm] abgeleitet werden, muß die Kettenregel angwendet werden, nach der die Ableitung einer verschachtelten Funktion das Produkt von innerer und äußerer Ableitung ist: [mm]f(x) = \bruch{d}{dx}F(z(x)) = \bruch{dF}{dz}\, \bruch{dz}{dx}[/mm]; oder umgansprachlich: [mm]f(x) = F' * z'[/mm].
In Worten heißt das: Du leitest zunächst die Funktion [mm]F(z)[/mm] nach [mm]z[/mm] ab (äußere Ableitung), dann leitest Du [mm]z(x)[/mm] nach [mm]x[/mm] ab (innere Ableitung) und multiplizierst beide Ableitungen.
Für das obige Beispiel erhält man [mm]\bruch{dF}{dx} = f(x) = 2(3x-1) * 3[/mm].
> Dieser muss bis auf einen konstanten Faktor gelten"
Ein konstanter Faktor [mm]c[/mm] kann natürlich aus dem Integral herausgezogen werden: [mm]\integral c * f(x) dx \; = \; c \integral F' * z'[/mm].
Gruß, Marx.
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