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| Aufgabe | | a) [mm] \integral_{-1}^{1} 3(3x-1)^4\, [/mm] dx |
Hallo,
ich habe von meiner Lehrerin einige Aufgaben ähnlich wie oben bekommen. Die Lösungen hat sie uns auch schon gegeben.
Lösung: 211,2
Die Formel hab ich auch. Leider weiß ich GARNICHT wie man das macht. Ihr würdet mir ziemlich weiterhelfen, wenn ihr mir das einmal vorrechnet, um zusehen wie man das macht. Ich bin nämlich EXTREM schlecht in Mathe und bräuchte dringend eure Hilfe.
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Hallo Like_Mathe,
Du kannst durchaus substituieren. Es bietet sich ja das an, was in der Klammer steht. Also z=3x-1.
Für die Fälle, wo [mm] f(x):=h\circ{}g [/mm] und g eine lineare Funktion ist, gibt es auch eine schnelle Lösung:
[mm] \integral h(mx+n)dx=\frac{1}{m}H(mx+n)
[/mm]
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Was ist H? Wie du es gemacht hast, dann würde ich ja nicht 211,2 heraus bekommen.
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Hallo noch einmal.
H ist eine Stammfunktion zu h.
> Was ist H? Wie du es gemacht hast, dann würde ich ja
> nicht 211,2 heraus bekommen.
Und doch, das würdest du.
Denke an das korrekte Integral von h!
[mm] \integral x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}, [/mm] für [mm] n\not=-1
[/mm]
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Mein Ergebnis:
= [mm] \bruch{1}{1+1^3}1+1
[/mm]
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Hallo, ich erkenne leider bei deiner Lösung keinen Bezug zur Aufgabe, starten wir mal
[mm] \integral_{-1}^{1}{3*(3x-1)^4 dx}
[/mm]
Substitution
z:=3x-1
[mm] \bruch{dz}{dx}=3
[/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{3}dz
[/mm]
jetzt einsetzen
[mm] \integral_{}^{}{3*z^4*\bruch{1}{3}dz }
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{z^4 dz }
[/mm]
jetzt für dich
(1) bilde die Stammfunktion
(2) mache Rücksubstitution
(3) setze die Grenzen ein
Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Di 28.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, ich erkenne leider bei deiner Lösung keinen Bezug
> zur Aufgabe, starten wir mal
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{3*(3x-1)^4 dx}[/mm]
>
> Substitution
>
> z:=3x-1
>
> [mm]\bruch{dz}{dx}=3[/mm]
>
> [mm]dx=\bruch{1}{3}dz[/mm]
>
> jetzt einsetzen
>
> [mm]\integral_{}^{}{3*z^4*\bruch{1}{3}dz }[/mm]
>
> [mm]=\integral_{}^{}{z^4 dz }[/mm]
>
> jetzt für dich
>
> (1) bilde die Stammfunktion
> (2) mache Rücksubstitution
(3) setze die Grenzen ein
letzteres unterstreiche ich hier mal.
(Man bedenke: [mm] $\int_a^b [/mm] h(x)dx=H(b)-H(a)$ (salopp formuliert!)!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:02 Di 28.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo noch einmal.
>
> H ist die Stammfunktion zu h.
EINE Stammfunktion. $H+2$ wäre nämlich schon eine weitere (i.A.) [mm] $\not=H\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 20:08 Di 28.08.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hey Marcel!
Marcel du Fuchs! Du hast da natürlich absolut Recht. Mein Beitrag wurde dementsprechend selbstverständlich geändert.
Es sind die kleinen Dinge, die etwas unkorrekt machen.
Danke natürlich für den Hinweis.
Grüße!
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 20:44 Di 28.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hey Marcel!
>
> Marcel du Fuchs! Du hast da natürlich absolut Recht. Mein
> Beitrag wurde dementsprechend selbstverständlich
> geändert.
>
> Es sind die kleinen Dinge, die etwas unkorrekt machen.
> Danke natürlich für den Hinweis.
hier wäre es nicht schlimm. Aber manchmal können solche
Kleinigkeiten große Verwirrung stiften. Beispiel (rechterhand steht immer
EINE Stammfunktion):
[mm] $$\int \sin(2x)dx=-\frac{1}{2}\cos(2x)\,.$$
[/mm]
(Substitution [mm] $v=v(x):=2x\,.$)
[/mm]
Weiter gilt aber auch
[mm] $$\int \sin(2x)dx=\int 2\sin(x)\cos(x)dx=\sin^2(x)\,.$$
[/mm]
(Substitution [mm] $v=v(x)=\sin(x)\,.$)
[/mm]
Frage: Folgt nun [mm] $\sin^2(x)=-\frac{1}{2}\cos(2x)$?
[/mm]
Berechne mal [mm] $-\frac{1}{2}\cos(2x)$ [/mm] mit den Additionstheoremen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 08:37 Mi 29.08.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
nur, damit die "Frage" nicht so offen steht.
> Hi,
>
> hier wäre es nicht schlimm. Aber manchmal können solche
> Kleinigkeiten große Verwirrung stiften. Beispiel
> (rechterhand steht immer
> EINE Stammfunktion):
> [mm]\int \sin(2x)dx=-\frac{1}{2}\cos(2x)\,.[/mm]
> (Substitution
> [mm]v=v(x):=2x\,.[/mm])
>
> Weiter gilt aber auch
> [mm]\int \sin(2x)dx=\int 2\sin(x)\cos(x)dx=\sin^2(x)\,.[/mm]
Interessantes Beispiel!
>
> (Substitution [mm]v=v(x)=\sin(x)\,.[/mm])
>
> Frage: Folgt nun [mm]\sin^2(x)=-\frac{1}{2}\cos(2x)[/mm]?
Nein, das folgt ganz gewiss nicht. Das ist schon schnell ersichtlich für x=0.
>
> Berechne mal [mm]-\frac{1}{2}\cos(2x)[/mm] mit den
> Additionstheoremen...
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 17:38 Mi 29.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> nur, damit die "Frage" nicht so offen steht.
> > Hi,
> >
> > hier wäre es nicht schlimm. Aber manchmal können solche
> > Kleinigkeiten große Verwirrung stiften. Beispiel
> > (rechterhand steht immer
> > EINE Stammfunktion):
> > [mm]\int \sin(2x)dx=-\frac{1}{2}\cos(2x)\,.[/mm]
> >
> (Substitution
> > [mm]v=v(x):=2x\,.[/mm])
> >
> > Weiter gilt aber auch
> > [mm]\int \sin(2x)dx=\int 2\sin(x)\cos(x)dx=\sin^2(x)\,.[/mm]
>
> Interessantes Beispiel!
> >
> > (Substitution [mm]v=v(x)=\sin(x)\,.[/mm])
> >
> > Frage: Folgt nun [mm]\sin^2(x)=-\frac{1}{2}\cos(2x)[/mm]?
> Nein, das folgt ganz gewiss nicht. Das ist schon schnell
> ersichtlich für x=0.
stimmt, so würde man es ganz schnell sehen. Mir ging's aber um das
Erkennen der Bedeutung einer (hier verlorenen) Integrationskonstante:
Es ist
[mm] $$-\frac{1}{2}\cos(2\;\cdot)=-\frac [/mm] 1 2 [mm] \cos(\,\cdot\,+\,\cdot\,)=-\frac{1}{2}(\cos^2-\sin^2)=-\frac [/mm] 1 2 [mm] (1-2\sin^2)=\sin^2 \blue{-\frac 1 2} \not= \sin^2\,.$$
[/mm]
Dort erkennt man die Bedeutung einer (unterschlagenen)
Integrationskonstanten...
Gruß,
Marcel
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