Substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechne durch Substitution [mm] \integral_{0}^{\pi^2}{\bruch{sin2 \wurzel{x}}{\wurzel{x}} dx} [/mm] |
ich weiß mal wieder nicht, wie ich jetzt weiterrechne.
meine substitution ist [mm] y=\wurzel{x}
[/mm]
dann komme ich bis [mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
und wie komme ich jetzt weiter?bei wurzeln komme ich überhaupt nicht klar...
kann mir bitte jemand helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechne durch Substitution
> [mm]\integral_{0}^{\pi^2}{\bruch{sin2 \wurzel{x}}{\wurzel{x}} dx}[/mm]
>
> ich weiß mal wieder nicht, wie ich jetzt weiterrechne.
>
> meine substitution ist [mm]y=\wurzel{x}[/mm]
>
> dann komme ich bis [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm]
Korrektur:
[mm] $$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{\blue{2}\sqrt{x}}\,.$$
[/mm]
> und wie komme ich jetzt weiter?bei wurzeln komme ich
> überhaupt nicht klar...
>
> kann mir bitte jemand helfen?
Mit [mm] $y=y(x)=\sqrt{x}$ [/mm] ist ja [mm] $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ [/mm] bzw. [mm] $dx=2\sqrt{x}\,dy\,,$ [/mm] und wegen
[mm] $$(\star)\;\;y(0)=0\;\; \text{ und }\;\;y(\pi^2)=\pi$$ [/mm]
folgt
[mm] $$\integral_{0}^{\pi^2}{\bruch{\sin(2\; \overbrace{\wurzel{x}}^{=y})}{\wurzel{x}} dx}=\int\limits_{y(0)}^{y(\pi^2)} \frac{\sin(2y)}{\red{\sqrt{x}}}*\underbrace{2\red{\sqrt{x}}\,dy}_{=dx}\underset{(\star)}{=}\integral_{y=0}^{y=\pi}\,2\sin(2y)\,dy\,.$$
[/mm]
Den Rest schaffst Du sicher alleine?!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:37 Fr 26.06.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
man könnte auch
$ [mm] y=2*\wurzel{x} [/mm] $
substituieren;
$ [mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] $.
[mm] $\integral_{0}^{\pi^2}{\bruch{sin(2* \wurzel{x})}{\wurzel{x}} dx} =\integral_{0}^{2*\pi}\,\sin(y)\,dy$
[/mm]
Und das Integral des Sinus über die volle Periode ist 0.
Schönen Gruß
Karsten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo und guten Tag,
>
> man könnte auch
> [mm]y=2*\wurzel{x}[/mm]
> substituieren;
> [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm].
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi^2}{\bruch{sin(2* \wurzel{x})}{\wurzel{x}} dx} =\integral_{0}^{2*\pi}\,\sin(y)\,dy[/mm]
>
> Und das Integral des Sinus über die volle Periode ist 0.
könnte man natürlich machen (und ist (unerheblich) eleganter), aber die Stammfunktion von $y [mm] \mapsto 2*\sin(2y)$ [/mm] ist jetzt auch nicht sonderlich schwer zu $y [mm] \mapsto -\cos(2y)$ [/mm] "erraten" (wenngleich man es formal natürlich auch mit einer neuen Substitution [mm] $z\,=\,2y$ [/mm] auch berechnen kann). Und natürlich kann man hier auch vollkommen analog mit der [mm] $\pi$-Periodizität [/mm] von [mm] $-\cos(2\,\cdot)$ [/mm] argumentieren und kommt auf das gleiche Ergebnis.
Ich ergänze das nur, damit der Kreis dann geschlossen ist. 
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
