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Substitution: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Di 01.03.2005
Autor: Hexe

Hi
ich hab mal wieder ein ekliges Integral, muss substituieren und es geschieht folgendes:
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\integral_{-1}^{1}{\bruch{e^{-y}}{\wurzel{y^2+x^2-1}}dx}dy} [/mm]
Subst: [mm] t=\wurzel{y^2+x^2-1} [/mm] also [mm] x=\wurzel{t^2-y^2+1} [/mm]
neue Grenzen:
[mm] t(-1)=\wurzel{y^2+1-1}=y [/mm]
[mm] t(1)=\wurzel{y^2+1-1}=y [/mm]
Was sagt mir das jetzt?? kann ich das Integral Null setzen oder darf ich diese Substituion nicht machen und wenn warum nicht?


        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Di 01.03.2005
Autor: Max

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Hexe [winken]

ich würde das mal so versuchen, auch wenn ich damit deine Frage unbeantwortet lasse ;-)

$\int_1^{\infty} \int_{-1}^1 \frac{e^{-y}}{\sqrt{y^2+x^2-1}}dx dy= \int_1^{\infty}e^{-y} \int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{y^2-1+x^2}}dx dy$

Mit $a^2:=y^2 -1$ vereinfacht sich das ganze weiter zu

$\int_1^{\infty} e^{-y} \int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}} dx  dy$
$=\int_1^{\infty} e^{-y}  \int_{-1}^1 \frac{1}{a \sqrt{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}} dx dy$
$= \int_1^{\infty} e^{-y}\left[\mbox{arcsinh}\left(\frac{x}{a}\right)\right]_{-1}^1 dy$
$= \int_1^{\infty} e^{-y}\left[\mbox{arcsinh}\left(\frac{1}{y^2-1}\left)-\mbox{arcsinh}\left(\frac{-1}{y^2-1}\right)\right]  dy $

Das ist ja nur noch ein "einfaches" Integral, was du sicherlich schnell gelöst bekommst [kopfkratz]

Also, vielleicht hilft dir das ja - ich komme nämlich nicht mehr weiter. Dafür verstehe ich deine Substitution nicht ;-)


Gruß Brackhaus
Bezug
                
Bezug
Substitution: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:28 Mi 02.03.2005
Autor: Hexe

Hi nochmal zuerst muss ich beichten was vergessen zu haben, nämlich das Volumenelement. Das Integral lautet also insgesamt:
  
[mm][mm] \int_1^{\infty} \int_{-1}^1 \frac{e^{-y}(y^2-x^2)}{\sqrt{y^2+x^2-1}}dx [/mm] dy

Lieber Brackhaus das Problem mit deiner Lösung ist, das [mm] \bruch{1}{y^2-1} [/mm] für y=1 nicht definiert ist, dasselbe Problem bekomme ich wenn ich einfach integriere, nämlich in dem Fall ln(y-1) was auch nicht geht.
Es bleibt also die Frage was passiert wenn durch Substitution das Integrationsintervall 0 wird?
Bezug
                        
Bezug
Substitution: ganz einfach
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:49 Mi 02.03.2005
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

Hallo Hexe,

du siehst den Wald vor lauter Bäumen nicht.

Wenn du [mm] x=\sqrt{...} [/mm] in deiner Substitution stehen hast, dann schafft du es doch nie, negative x-Werte mit deinen t's zu erreichen.

Du musst (wenn möglich) Symmetrien ausnutzen, d.h.

dein Integral durch [mm] 2\cdot\int_1^{\infty}\int_0^1 [/mm] ersetzen.

Dein Integral kann ja gar nicht Null werden, weil du einen strikt positiven Integranden über eine Nicht-Nullmenge integrierst. ;-)

Hugo
Bezug
                                
Bezug
Substitution: Stimmt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:15 Mi 02.03.2005
Autor: Hexe

Hallo Hugo,
[lichtaufgegangen]  stimmt es ist einfach, vielen Dank für das Brett wegreissen
Liebe Grüße
Hexe
Bezug
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