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| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \integral_{0}^{1}\bruch{x^2}{\wurzel{1+x^2}} [/mm] dx
Hinweis: Benutzen Sie die Substitution y = x + [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] |
Hallo,
besteht die Möglichkeit zur Substitution wirklich y = x + [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] anzuwenden (oder macht das SInn)? Ich denke, dass es sich sonst um einen Fehler handelt, und y = [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] heißen sollte.
Liebe Grüße
sommersonne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Berechnen Sie
> [mm]\integral_{0}^{1}\bruch{x^2}{\wurzel{1+x^2}}[/mm] dx
> Hinweis: Benutzen Sie die Substitution y = x +
> [mm]\wurzel{1+x^2}[/mm]
> Hallo,
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> besteht die Möglichkeit zur Substitution wirklich y = x +
> [mm]\wurzel{1+x^2}[/mm] anzuwenden (oder macht das SInn)? Ich denke,
> dass es sich sonst um einen Fehler handelt, und y =
> [mm]\wurzel{1+x^2}[/mm] heißen sollte.
Hallo sommersonne!
Warum integrierst du nich partiell:
[mm]\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}}=v'\qquad v=\wurzel{1+x^2}[/mm]
u=x [mm] \qquad [/mm] u'=1
Beim verbleibenden Integral kannst du mit [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] erweitern und ähnlich integrieren!
Gruß Angelika!
>
>
> Liebe Grüße
> sommersonne
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo,
danke für deine Antwort. Aber eigentlich würde ich mich gerne an die Aufgabenstellung halten, nur dass ich vermute, dass y = [mm] \wurzel{1+x^{2}} [/mm] gemeint ist.
Liebe Grüße
sommersonne
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Hallo !
Im "Grunde" substituierst du doch bei der partiellen Integration um auf das Integral von [mm] v=\integral{\bruch{x}{\wurzel{1+x^2}}dx} [/mm] zu kommen. Und zwar [mm] z=\wurzel{1+x^2}
[/mm]
Gruß
Angelika
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Hallo sommersonne,
> Hallo,
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> danke für deine Antwort. Aber eigentlich würde ich mich
> gerne an die Aufgabenstellung halten, nur dass ich vermute,
> dass y = [mm]\wurzel{1+x^{2}}[/mm] gemeint ist.
Das mit der Substitution [mm]y=x+\wurzel{1+x^{2}}[/mm] stimmt schon.
>
> Liebe Grüße
> sommersonne
Gruß
MathePower
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Hallo sommersonne,
> Berechnen Sie
> [mm]\integral_{0}^{1}\bruch{x^2}{\wurzel{1+x^2}}[/mm] dx
> Hinweis: Benutzen Sie die Substitution y = x +
> [mm]\wurzel{1+x^2}[/mm]
> Hallo,
>
> besteht die Möglichkeit zur Substitution wirklich y = x +
> [mm]\wurzel{1+x^2}[/mm] anzuwenden (oder macht das SInn)? Ich denke,
> dass es sich sonst um einen Fehler handelt, und y =
> [mm]\wurzel{1+x^2}[/mm] heißen sollte.
>
Das mit der Substitution [mm]y=x+\wurzel{1+x^{2}}[/mm] stimmt schon.
>
> Liebe Grüße
> sommersonne
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Gruß
MathePower
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Hallo,
danke für deine Antwort!
Also: [mm] g(x)=y=x+\wurzel{1+x^2}
[/mm]
[mm] g(x)'=1+(1/2)*(\wurzel{1+x^2})^{1/2}
[/mm]
[mm] g(x)'=1+\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}
[/mm]
[mm] dy=g(x)'=(1+\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}})dx
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{1+\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}}=dx
[/mm]
Das Integral ist ja [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x^2}{\wurzel{1+x^2}} dx}
[/mm]
Ich kann da ja nicht [mm] \bruch{dy}{1+\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}}=dx [/mm] einsetzen weil in [mm] \bruch{dy}{1+\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}} [/mm] ja noch [mm] x^2 [/mm] steht. Und im [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x^2}{\wurzel{1+x^2}} dx} [/mm] kann ich mit [mm] y=x+\wurzel{1+x^2} [/mm] auch nichts ersetzen...
Liebe Grüße
sommersonne
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Hallo,
danke für deine Antwort!
Dass die Ableitung falsch war, hat mich völlig überrascht.
Trotzdem komme ich auf Grund des [mm] x^2 [/mm] nicht viel weiter:
dy = [mm] \bruch{y}{\wurzel{1+x^2}}dx
[/mm]
<=> dy * [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] = y dx
<=> dy [mm] \bruch{\wurzel{1+x^2}}{y} [/mm] = dx
[mm] g(x)=y=x+\wurzel{1+x^2}
[/mm]
[mm] \integral_{g(0)}^{g(1)}{\bruch{x^2}{\wurzel{1+x^2}} \bruch{\wurzel{1+x^2}}{y}dy}
[/mm]
= [mm] \integral_{g(0)}^{g(1)}{\bruch{x^2}{y} dy}
[/mm]
[mm] y=x+\wurzel{1+x^2} [/mm] lässt sich ja nicht nach x umstellen.
Liebe Grüße
sommersonne
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Hallo sommersonne!
Habe gesehen du machst es jetz doch mit [mm] y=x+\wurzel{x^2+1}. [/mm] Sehrwohl kannst du [mm] y=x+\wurzel{x^2+1} [/mm] umstellen.
[mm] x^2=(y-x)^2-1(Da [/mm] du aber noch immer noch ein x dabeihast weiß ich nicht ob es dir viel bringen wird)Meiner Meinung nach ist das keine wirklich gute Methode.Ich würde es eher wie anfangs erwähnt machen.
Entschuldige...Ich habe einen anderen Fehler von dir übersehen: Du hast für [mm] \wurzel{x^2+1} [/mm] statt y-x nur y eingesetzt so ändert sich einiges.....
Gruß
Angelika
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Hallo,
danke für deine Antwort!
Ich habe im Integral dx durch dy $ [mm] \bruch{\wurzel{1+x^2}}{y} [/mm] $ ersetzt. Und dabei das genannte Ergebnis erhalten.
Liebe Grüße
sommersonne
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du vergisst hier die innere Ableitung (gemäß 
Kettenregel