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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Mo 12.02.2007 | | Autor: | Idale |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{sinx}{1-sin^2x} dx} [/mm] |
Hi,
wir sollen die Aufgabe mit Hilfe der Substitution lösen...und ich muss sagen, ich hab nicht wirklich einen Plan, wie das geht....na ja ich hab sogar einen Plan und die Lösung...versteh aber weder den Plan noch die Lösung 
Zum einen verstehe ich nicht, warum man hier überhaupt substituiert...ich dachte immer man kann nur substituieren, wenn der Zähler die erste Ableitung vom Nenner ist...aber sinx ist doch nicht die Ableitung von 1-sin^2x bzw. cos^2x! Eine Sache die ich nicht verstehe...aber selbst wenn man mir sagt, hier muss man die Substitution anwenden, verstehe ich nicht wie...
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{sinx}{1-sin^2x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{sinx}{cos^2x} dx}
[/mm]
1. Schritt: u = cosx
2. Schritt: [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = -sinx
3. Schritt: du = - sinx dx
4. Schritt [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{sinx}{cos^2x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}{\bruch{du}{u^2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{u^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{u} [/mm] + c ----> diesen ganzen Schritt verstehe ich nicht, wie kann denn auf einmal aus [mm] \integral_{}{\bruch{du}{u^2}} \bruch{1}{u^2} [/mm] werden u. daraus dann [mm] \bruch{1}{u} [/mm] + c ???
5. Schritt: Resubstitution: [mm] \bruch{1}{cosx} [/mm] + c
Need help....Danke
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Mo 12.02.2007 | | Autor: | riwe |
[mm] \frac{d}{dx}(\frac{1}{cosx})=\frac{sinx}{cos²x}
[/mm]
das ist damit gemeint
im zähler steht die innere ableitung des nenners
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Hallo,
du hast im 4. Schritt einen Vorzeichenfehler:
also mit der Substitution u=cos(x) ist [mm] u^2=cos^2(x)
[/mm]
und - wie in Schritt 3 steht du=-sin(x)dx, also -du=sin(x)dx
also [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{sinx}{cos^2x} dx}=\integral_{}^{}{ \bruch{1}{cos^2x}sinx dx}=\integral_{}^{}{ \bruch{1}{u^2} (-du)}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{ \bruch{-1}{u^2} du}
[/mm]
Und dieses Integral ist bei weitem einfacher zu behandeln als das Ausgangsintegral, also bietet sich die Substitution u=cos(x) an.
Gruß
schachuzipus
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