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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 So 07.01.2007 | | Autor: | kenshin |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion (2x+3)/(3x-1).
Geben sie eine Stammfunktion an. |
Hallo, ich habe eine Frage zur Substitution unzwar verstehe ich das leider gar nicht, wir hatten es zwar im Unterricht, aber irgendwie hat mir das nicht eingeleuchtet. Ich weiss, dass man 3x-1 substituieren muss, aber ich weiss gar nicht wie man das schreibt und was genau man machen muss, kann mir vieleicht jemand an der Aufgabe das vorrechnen? :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 So 07.01.2007 | | Autor: | Disap |
Hallo kenshin.
> Gegeben ist die Funktion (2x+3)/(3x-1).
> Geben sie eine Stammfunktion an.
> Hallo, ich habe eine Frage zur Substitution unzwar
Substitution halte ich da eigentlich eher für ungüstig, weil...
> verstehe ich das leider gar nicht, wir hatten es zwar im
> Unterricht, aber irgendwie hat mir das nicht eingeleuchtet.
> Ich weiss, dass man 3x-1 substituieren muss, aber ich weiss
> gar nicht wie man das schreibt und was genau man machen
> muss, kann mir vieleicht jemand an der Aufgabe das
> vorrechnen? :)
Also:
[mm] $\int \frac{2x+3}{3x-1} [/mm] dx$
Du kannst hier die Substitution $z:= 3x-1$ wählen.
abgelitten ergibt z ==== $z' = 3$
Für das z' gilt nun $z' = [mm] \frac{dx}{dz}$
[/mm]
Das lässt sich daher herleiten, dass die Steigung m (einer Geraden) die Formel: [mm] m=\br{dy}{dx} [/mm] hat. Also ergibt sich für die Ableitung (was ja immer die Steigung repräsentiert) z' = 3 = [mm] \frac{dz}{dx}
[/mm]
Das muss nach dx umgestellt werden, denn wir wollen das dx ja erst einmal in das dz umwandeln
$dx = [mm] \frac{dz}{z'} [/mm] = [mm] \frac{dz}{3}$
[/mm]
Eingesetzt haben wir erst einmal:
[mm] $\int \frac{2x+3}{3x-1} \frac{dz}{3}$
[/mm]
Nun setzen wir für 3x-1 das z ein
[mm] $\int \frac{2x+3}{z} \frac{dz}{3}$
[/mm]
Problem: das 2x+3 muss noch weg...
Unsere Substitution lautete z=3x-1, also stellen wir das nach x um, um es oben in die Formel einsetzen zu können
$z=3x-1$ plus eins
$z+1 = 3x$ geteilt durch 3
[mm] $\frac{z+1}{3}=x$
[/mm]
Eingesetzt in für das x haben wir nun
[mm] $\int \frac{2*\frac{z+1}{3}+3}{z} \frac{dz}{3}$
[/mm]
Jetzt hast du aber wieder sowohl im Zähler als auch im Nenner ein z, was dir das Integrieren nicht gerade einfach macht. Aber prinzipiell würde es so gehen bei der Substitution. Ziel ist es eigentlich, dass sich im Zähler dann immer das x (durch z') wegkürzt. Oftmals hilft dir das Umstellen der Substitution nach x, sodass sich doch noch etwas wegkürzt, aber das ist hier ja nicht der Fall.
Daher musst du entweder eine andere Substitution wählen (wobei mir da jetzt keine einfällt). Oder du machst mit Polynomdivision weiter und integrierst die Terme, die als Ergebnis der Polynomdivision herauskommen, einzeln.
(Oder ich habe mich jetzt auf die Schnelle verrechnet, könnte ja passiert sein)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
MfG!
Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 So 07.01.2007 | | Autor: | riwe |
[mm] I=\integral_{}^{}{\frac{2x+3}{3x-1} dx} [/mm] löst man schon mit der substitution 3x-1 = z
mit 3dx= dz und [mm] 2x+3=\frac{2}{3}(3x-1)+\frac{11}{3} [/mm] bekommst du
[mm] I=\frac{1}{9}\integral_{}^{}{(2+\frac{11}{z}) dz}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 So 07.01.2007 | | Autor: | kenshin |
diese umstellung zu dem 2/3(3x usw) war das jetzt wegen der zeile 3dx = dz?
und wie geht es jetzt weiter bei 11/z ? jetzt muss man z einsetzen, oder? und dann integrieren oder erst das z integrieren und dann das z einsetzen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 So 07.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo kenshin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> diese umstellung zu dem 2/3(3x usw) war das jetzt wegen der zeile 3dx = dz?
Nein, das wird erst später in das Integral eingesetzt.
Hier hat riwe umgeformt, um die Substititution $z \ := \ 3x-1$ wieder verwenden zu können und auch das 2. $x_$ zu eliminieren:
$2x+3 \ = \ [mm] \bruch{2}{3}*3x+3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3}*\left(3x+\bruch{9}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3}*\left(3x-1+1+\bruch{9}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3}*\left(3x-1+\bruch{11}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3}*\left(3x-1\right)+\bruch{2}{3}*\bruch{11}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{3}*\left(3x-1\right)+\bruch{11}{3}$
[/mm]
Du hättest auch alternativ $z \ = \ 3x-1$ nach $x \ = \ ...$ umformen können und einsetzen.
> und wie geht es jetzt weiter bei 11/z ? jetzt muss man z
> einsetzen, oder? und dann integrieren oder erst das z
> integrieren und dann das z einsetzen ?
Kennst Du die Stammfunktion zu [mm] $\bruch{1}{z}$ [/mm] ? Das hat etwas mit dem natürlichen Logarithmus [mm] $\ln(...)$ [/mm] zu tun.
Also erst integrieren und anschließend das $z_$ wieder durch $3x-1_$ ersetzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 So 07.01.2007 | | Autor: | kenshin |
[mm] \integral_{a}^{b}{1/x dx}=\ln(x) [/mm] glaub ich :D dann is 11/x [mm] 11*\ln(x) [/mm] oder? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 So 07.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo kenshin!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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