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Forum "Schul-Analysis" - Substitution
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Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Do 08.06.2006
Autor: rotespinne

Hallo!

Folgende Ungleichung ist zu lösen:

[mm] \bruch{1 \vmat{x+1}-1}{3 \vmat{x+1}+1} [/mm] < 3

Ich wollte hier mit Substitutaion arbeiten und für  [mm] \vmat{x+1} [/mm] t einsetzen.

Demnach hätte ich folgende Ungleichung:

[mm] \bruch{16t-1}{3t+1} [/mm] < 3
Mit dem Nenner multiplizeirt ergibt das:

16t - 1 = 9t + 3                              Zusammenfassen ergibt

7t = 4                     durch 4 dividiert

t =  [mm] \bruch{4}{7} [/mm]          ( ich soll auf -  [mm] \bruch{11}{7} [/mm] und -  [mm] \bruch{3}{7} [/mm] kommen. Was mache ich denn falsch bzw. was muss ich bei Substitution alles beachten?

Danke!
        
Bezug
Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 Do 08.06.2006
Autor: ardik

Hallo rotespinne,

[vorweg: ich nehme an, in Deiner Ausgangsgleichung ist die 6 aus der 16 verlorengegangen?]

damit hast Du doch schon fast die endgültige Lösung! ;-)

Du musst aber noch zurücksubstituieren, also für t wieder [mm] $\left|x+1\right|$ [/mm] einsetzen und dann noch - wie "gewohnt" ;-) - die Fälle unterscheiden:

> [mm]t = \bruch{4}{7}[/mm]    

$ [mm] \left| x+1 \right| [/mm] = [mm] \bruch{4}{7}$ [/mm]

I. für $x+1 > 0$:
$ [mm] \Rightarrow [/mm] x+1 = [mm] \bruch{4}{7}$ [/mm]

II. für $x+1 < 0$
$ [mm] \Rightarrow [/mm] -(x+1) = [mm] \bruch{4}{7}$ [/mm]

Und schon kommst Du auf die beiden vorgegebenen Ergebnisse!

Schöne Grüße,
ardik
Bezug
                
Bezug
Substitution: Ungleichung!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:46 Do 08.06.2006
Autor: ardik

Nachtrag:

Korrekter - nämlich unter Berücksichtigung der Ungleichung natürlich:

[mm]t < \bruch{4}{7}[/mm]    

[mm]\left| x+1 \right| < \bruch{4}{7}[/mm]

  
I.
für [mm]x+1 \ge 0 \gdw x \ge -1[/mm]

  [mm]\Rightarrow x+1 < \bruch{4}{7}[/mm]
  $ [mm] \gdw [/mm] x < - [mm] \bruch{3}{7}$ [/mm]  


II.
für [mm]x+1 < 0 \gdw x < -1[/mm]

  [mm]\Rightarrow -(x+1) < \bruch{4}{7}[/mm]
  $ [mm] \gdw [/mm] x > - [mm] \bruch{11}{7}$ [/mm]
  

Also schließlich: $  - [mm] \bruch{11}{7} [/mm] < x < - [mm] \bruch{3}{7} [/mm] $

Schöne Grüße,
   ardik
Bezug
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