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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 So 05.01.2014 | | Autor: | Kitzng |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral mithilfe der Substitutionsregel.
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x\wurzel{x^2-1}} dx} [/mm] |
Guten Abend!
Ich sitze gerade an meiner letzten Aufgabe und komme irgendwie nicht auf's richtige Ergebnis... Könnte jemand die einmal nachgucken? 
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x\wurzel{x^2-1}} dx}
[/mm]
[mm] u=x^2-1
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=2x [/mm] <=> [mm] dx=\bruch{du}{2x}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x\wurzel{u}} \bruch{du}{2x}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{u}} du}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*2\wurzel{u}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*2\wurzel{x^2-1}
[/mm]
Vielen Dank und viele Grüße!
Kitzng
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 So 05.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie das Integral mithilfe der
> Substitutionsregel.
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x\wurzel{x^2-1}} dx}[/mm]
> Guten
> Abend!
> Ich sitze gerade an meiner letzten Aufgabe und komme
> irgendwie nicht auf's richtige Ergebnis... Könnte jemand
> die einmal nachgucken?
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x\wurzel{x^2-1}} dx}[/mm]
>
> [mm]u=x^2-1[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dx}=2x[/mm] <=> [mm]dx=\bruch{du}{2x}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x\wurzel{u}} \bruch{du}{2x}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{u}} du}[/mm]
Hallo,
hier wird es falsch. Im Nenner standen doch eine Zeile vorher noch ZWEI Faktoren x.
Aus [mm]u=x^2-1[/mm] [mm] folgt $x^2=u+1$.
[/mm]
Damit gilt
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x\wurzel{u}} \bruch{du}{2x}}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{2\wurzel{u}} \bruch{du}{x^2}}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{2\wurzel{u}} \bruch{du}{(u+1)}}[/mm]
Gruß Abakus
>
> = [mm]\bruch{1}{2}*2\wurzel{u}[/mm]
>
> = [mm]%5Cbruch%7B1%7D%7B2%7D*2%5Cwurzel%7Bx%5E2-1%7D[/mm]
>
> Vielen Dank und viele Grüße!
> Kitzng
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 So 05.01.2014 | | Autor: | Kitzng |
Hallo abakus!
Vielen Dank für deine Antwort! Direkt zur Lösung habe ich allerdings eine kleine Frage:
Ich prüfe meine Ergebnisse immer mit dem Online-Integralrechner, der äußerst zuverlässig arbeitet, und der bekam [mm] -arcsin(\bruch{1}{|x|}) [/mm] raus (![[]](/images/popup.gif) Link).
Wenn man dein Ergebnis umstellt, kommt man doch auf [mm] x^2*\bruch{1}{2*\wurzel{x^2+1}}, [/mm] oder? Die beiden Ergebnisse habe ich graphisch verglichen: die Graphen sind unterschiedlich.
Jetzt einmal zur Frage: welche Lösung ist jetzt richtig?
Viele Grüße
Kitzng
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Hallo Kitzng,
> Hallo abakus!
> Vielen Dank für deine Antwort! Direkt zur Lösung habe
> ich allerdings eine kleine Frage:
> Ich prüfe meine Ergebnisse immer mit dem
> Online-Integralrechner, der äußerst zuverlässig
> arbeitet, und der bekam [mm]-arcsin(\bruch{1}{|x|})[/mm] raus
> (Link).
>
> Wenn man dein Ergebnis umstellt, kommt man doch auf
> [mm]x^2*\bruch{1}{2*\wurzel{x^2+1}},[/mm] oder? Die beiden
Das kann ich nicht nachvollziehen.
> Ergebnisse habe ich graphisch verglichen: die Graphen sind
> unterschiedlich.
>
> Jetzt einmal zur Frage: welche Lösung ist jetzt richtig?
>
Die Lösung vom Link.
> Viele Grüße
> Kitzng
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 So 05.01.2014 | | Autor: | Kitzng |
Also ist meine Umstellung falsch oder die Rechnung von abakus?
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Hallo Kitzng,
> Also ist meine Umstellung falsch oder die Rechnung von
> abakus?
Deine Umstellung ist falsch.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:19 So 05.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo Kitzng,
>
> > Also ist meine Umstellung falsch oder die Rechnung von
> > abakus?
>
>
> Deine Umstellung ist falsch.
Hallo Kitzng,
bei deinem ersten Versuch hast du die beiden x im Nenner einfach weggelassen. Diesmal holst du das Produkt x*x (also [mm] $x^2$) [/mm] so mir nichts, dir nichts aus dem Nenner als Faktor vor den Bruch (im Prinzip verschiebst du damit einem Faktor aus dem Nenner in den Zähler).
Gruß Abakus
>
>
> Gruss
> MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 So 05.01.2014 | | Autor: | Kitzng |
Aber wie soll denn dann (u+1) von du lösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 So 05.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Aber wie soll denn dann (u+1) von du lösen?
Es gilt
[mm]\bruch{1}{2\wurzel{u}} \bruch{du}{(u+1)}=\bruch{1}{2\wurzel{u}(u+1)} du[/mm].
Das bringt dich aber für das Integrieren nicht weiter. Entweder du beginnst die Aufgabe komplett neu mit einer anderen Substitution, oder du führst diese Aufgabe mit einer erneuten Substitution weiter.
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 So 05.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Berechnen Sie das Integral mithilfe der Substitutionsregel.
> [mm]\integral_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx}[/mm]
Setze [mm] u:=\sqrt{x^2-1}, [/mm] dann gilt:
[mm] \frac{du}{dx}=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \Rightarrow dx=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}du
[/mm]
Außerdem gilt:
[mm] u=\sqrt{x^2-1}\Rightarrow u^2=x^2-1\Rightarrow x^2=1+u^2
[/mm]
Damit folgt:
[mm] \integral_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx}=\integral_{}^{}{\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}du}=\integral_{}^{}{\frac{1}{x^2}du}=\integral_{}^{}{\frac{1}{1+u^2}du}=\tan^{-1}u+C
[/mm]
Jetzt du!
DieAcht
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