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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Kitzng |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral mithilfe der angegebenen Substitution
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{4}{\wurzel{x^2+1}} dx}
[/mm]
[mm] u=x+\wurzel{x^2+1} [/mm] |
Hallo!
Ich habe eben die o.g. Aufgabe gerechnet, bin mir aber nicht ganz sicher, ob ich die richtig gerechnet habe. Könntet ihr da mal nen Blick drauf werfen? 
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{4}{\wurzel{x^2+1}} dx}
[/mm]
[mm] u=x+\wurzel{x^2+1}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}+1
[/mm]
<=> [mm] dx=\bruch{du}{\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}}+1
[/mm]
= [mm] \bruch{du}{\wurzel{x+1}*x}+1
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{4}{u-x} \bruch{du}{\wurzel{x+1}*x}+1 dx} |*(\wurzel{x+1}*x)
[/mm]
[mm] =\wurzel{x+1}*x \integral_{}^{}{\bruch{4}{u-x} du+1} [/mm] |-1
[mm] =-1+\wurzel{x+1}*x-4*ln(u-x)
[/mm]
[mm] =-1+\wurzel{x+1}*x-3*ln(\wurzel{x^2+1})
[/mm]
Das ist soweit mein Rechenweg.
Ich hätte zusätzlich zur partiellen Integration noch eine Frage: Woran erkennt man an einer Aufgabe, dass man 2x partiell integrieren muss?
Viele Grüße
Kitzng
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Berechnen Sie das Integral mithilfe der angegebenen
> Substitution
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{4}{\wurzel{x^2+1}} dx}[/mm]
>
> [mm]u=x+\wurzel{x^2+1}[/mm]
> Hallo!
> Ich habe eben die o.g. Aufgabe gerechnet, bin mir aber
> nicht ganz sicher, ob ich die richtig gerechnet habe.
> Könntet ihr da mal nen Blick drauf werfen?
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{4}{\wurzel{x^2+1}} dx}[/mm]
>
> [mm]u=x+\wurzel{x^2+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dx}=\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}+1[/mm]
>
> <=> [mm]dx=\bruch{du}{\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}}+1[/mm]
>
Hier steckt ein granatenmäßiger Flüchtigkeitsfehler drin, das muss wenn überhaupt so heißen:
[mm] dx=\bruch{du}{\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}+1}
[/mm]
von daher brauchen wir uns über deine weitere Rechnung nicht mehr unterhalten. Ich würde da aber den Nenner noch gleichnamig machen, bevor du weiterrechnest.
Die richtige Lösung muss lauten
[mm] \int{\bruch{4}{\wurzel{x^2+1}} dx}=4*ln\left(x+\wurzel{x^2+1}\right)+C
[/mm]
Dies halte ich hier ausnahmsweise zur Kontrolle für sinnvoll, denn ohne die Kenntnis, dass hier als Stammfunktion der sog. Areasinus auftritt, ist dieses Integral wirklich fies.
> Ich hätte zusätzlich zur partiellen Integration noch eine
> Frage: Woran erkennt man an einer Aufgabe, dass man 2x
> partiell integrieren muss?
Wenn man nach dem ersten Mal das verbleibende Integral auf der rechten Seite noch nicht direkt auswerten kann.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Kitzng |
Hallo Diophant!
Vielen Dank für deine Antwort!
Ich habe die Aufgabe jetzt mit dem richtigen dx weitergerechnet, bin aber auf
[mm] \bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}*(-4*ln(\wurzel{x^2+1})+c [/mm] gekommen.
Das ist der Rechenweg dazu:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{4}{u-x} \bruch{du}{\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}+1} dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}*(-4*ln(u-x)+c
[/mm]
[mm] =\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}*(-4*ln(\wurzel{x^2+1})+c
[/mm]
Viele Grüße
Kitzng
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Hallo,
> Hallo Diophant!
> Vielen Dank für deine Antwort!
> Ich habe die Aufgabe jetzt mit dem richtigen dx
> weitergerechnet, bin aber auf
> [mm]\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}*(-4*ln(\wurzel{x^2+1})+c[/mm]
> gekommen.
>
> Das ist der Rechenweg dazu:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{4}{u-x} \bruch{du}{\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}+1} dx}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}*(-4*ln(u-x)+c[/mm]
Boah ey, krass. Du integrierst mal ganz locker ohne Bauchschmerzen mit 2 Variablen im Integral ...
Das kann nix geben.
Es ist [mm]\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+1=\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}[/mm] - den Tipp mit dem gleichnamig machen hattest du doch bekommen ...
[mm] $=\frac{u}{u-x}$
[/mm]
Macht im Integral also
[mm]...=\int{\frac{4}{u-x}\frac{u-x}{u} \ du}=4\int{\frac{1}{u} \ du}[/mm]
> [mm]=\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}*(-4*ln(\wurzel{x^2+1})+c[/mm]
>
> Viele Grüße
> Kitzng
Gruß
schachuzipus
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