Substituieren < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Sa 26.05.2007 | | Autor: | Scavy |
Hallo.. ich habe ein kleines Problem mit einem Integral das ich mit Hilfe von einer Substitution lösen will, aber ich schaffs nicht. [mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{5+x}{5-x} dx}
[/mm]
Also das Substituieren selbst verstehe ich (ich habs mit u=5-x und u=5+x probiert).. aber ich kanns nicht lösen. Die Lösung soll 2,055 sein.
Schonmal danke im vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Scavy,
wo genau hakt's denn bei dir bei der Substitution?
M.E. funktioniert die Substitutiun $u:=5-x$ bestens und führt auch zu dem gewünschten Ergebnis.
Vllt. kannst du mal deine Rechnungen posten, damit wir sehen können, wo etwas u.U. nicht stimmt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Sa 26.05.2007 | | Autor: | Scavy |
also bei mir schaut das so aus:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{x+5}{x-5} dx}
[/mm]
u=x-5
[mm] \bruch{du}{dx}=-1 \Rightarrow [/mm] dx = -du
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{5+x}{u} -du} [/mm] die integrationsgrenzen lass ich so weil ich ja wieder rücksubstituiere
und ab hier weiß ich nicht weiter da hab ich mehrere sachen ausprobiert wie: [mm] -\integral_{a}^{b}{\bruch{5}{u}+\bruch{x}{u} du} \Rightarrow -5*\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{u} du}+ x*\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{u} du} [/mm]
da bleibt mir aber zb das x über, mitdem ich nicht weiß was ich damit machen soll. x=-1,1 einsetzen? dann hätt ich ja 2 lösungen. oder darf man das garnicht als konstante sehen und aus dem integral ziehen?
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Hallo Scavy,
du dein Ansatz ist genau richtig, du musst aber auch das $5+x$ im Zähler durch $u$ ausdrücken.
So wie du es gemacht hast, hast du ja die Variablen $x$ und $u$ im Integral.
Das gibt Kuddelmuddel 
Mit diner Subst. $u:=5-x$ ist doch $x=5-u$, also $5+x=10-u$
Das mal alles ersetzt, ergibt:
[mm] $\int{\frac{5+x}{5-x}dx}=\int{\frac{10-u}{u}\cdot{}-du}=\int{\frac{u-10}{u}du}=\int{1du}-10\int{\frac{1}{u}du}=...$
[/mm]
Denk dran, entweder die Grenzen mit zu substituieren, ODER zuerst das unbestimmte Integral zu bestimmen und dann zu resubstituieren und dann die alten Grenzen zu verwenden.
LG
schachuzipus
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Hallo zusammen,
ich habs mal mit einer Polynomdivision versucht und bekomme aber nicht das geforderte Ergebnis heraus.
Kann mir einer sagen, warum die Methode nicht funktioniert?
Hier mein Rechenweg:
[mm](x+5):(-x+5)=-1-\bruch{5}{x-5}[/mm]
[mm]-\integral_{-1}^{1}{dx}-5\integral_{-1}^{1}{\bruch{1}{x-5}dx}[/mm]
[mm]F(x)=[-2-5ln|-4|+5ln|-6| |_{-1}^{1} \approx 0,0273255405[/mm]
Grüße
Slartibartfast
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Hallo Slarti,
du hast nen Fehler bei der PD reingebaut:
[mm] $(x+5):(-x+5)=-1\red{+\frac{10}{5-x}}$
[/mm]
Damit passt das dann wieder
Gruß
schachuzipus
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huch, so was Dummes - naja, angehender Ingenieur ;)
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hehehe
jetzt musste ich aber wirklich mal herzhaft lachen
*smile*
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Sa 26.05.2007 | | Autor: | Fulla |
Hi Scavy!
Als erstes solltest du mal den Term umformen:
[mm] $\int_{-1}^1{\bruch{5+x}{5-x}dx}=\int_{-1}^1{\bruch{5}{5-x}dx}+\int_{-1}^1{\bruch{x}{5-x}dx}$
[/mm]
Jetzt substituierst du $u=5-x$ ($dx=-du$):
[mm] $\ldots=-\int_{-1}^1{\bruch{5}{u}du}-\int_{-1}^1{\bruch{5-u}{u}du}$
[/mm]
Das letzte Integral kannst du aufspalten und mit dem ersten zusammenfassen:
[mm] $\ldots=-\int_{-1}^1{\bruch{10}{u}du}+\int_{-1}^1{1du}=-10*\int_{-1}^1{\bruch{1}{u}du}+\int_{-1}^1{1du}=-10*\left[\ln(u)\right]_{-1}^1+\left[u\right]_{-1}^1$
[/mm]
Jetzt rücksubstituieren:
[mm] $\ldots=-10*\left[\ln(5-x)\right]_{-1}^1+\left[5-x\right]_{-1}^1=-10*(\ln(4)-\ln(6))+(4-6)=-10*\ln\bruch{4}{6}-2\approx [/mm] 2.05465$
Lieben Gruß,
Fulla
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