Subbasis, Begriff, Defi, Äquiv < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Do 17.09.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Ich wiederhole gerade die topologischen Begriffe und habe gemerkt, dass ich Probleme mit der Subbasis habe.
Sei [mm] (\tau, [/mm] X) ein TR
Eine Teilfamilie [mm] \mathcal{S} [/mm] von [mm] \tau [/mm] heißt Subbasis von [mm] \tau [/mm] wenn [mm] \mathcal{B}:= \{ \bigcap_{i=1}^n S_i | S_i \in \mathcal{S}, n \in \mathbb{N}\} [/mm] Basis von (X, [mm] \tau) [/mm] ist.
Was wiedrrum bedeutet [mm] \forall [/mm] O [mm] \in \tau: [/mm] O= [mm] \bigcup_{i\in I} \bigcap_{j=1}^{n_i} S_{ji} [/mm] |
Hallo
Ich habe mir 2 äquivalente Definitionen rausgesucht und versucht die Äquivalenz zu zeigen:
[mm] 1)\mathcal{S} [/mm] ist eine Subbasis für (X, [mm] \tau) \gdw\bigcup_{S \in \mathcal{S}} [/mm] S =X
[mm] \Rightarrow)
[/mm]
[mm] \mathcal{B}= \{ \bigcap_{i=1}^n S_i | S_i \in \mathcal{S}, n \in \mathbb{N}\} [/mm] Basis von [mm] \tau \Rightarrow \bigcup_{B \in \mathcal{B}} [/mm] B= X
Sei y [mm] \in [/mm] X [mm] \Rightarrow \exists B_i \in \mathcal{B}: [/mm] y [mm] \in B_i
[/mm]
Da [mm] B_i [/mm] aus endlichen vielen Schnitten von Elementen [mm] S_1,..,S_{n_i} [/mm] besteht besteht folgt y [mm] \in \bigcap_{j=1}^{n_i} S_j [/mm] . Da die [mm] S_j \in \mathcal{S} \forall [/mm] j [mm] \in \{1,..,n_i\} [/mm] folgt y [mm] \in \mathcal{S}
[/mm]
Ang. [mm] y\in [/mm] S für ein S [mm] \in \mathcal{S} [/mm] folgt trivialerweiße y [mm] \in [/mm] X.
[mm] \Rightarrow \bigcup_{S \in \mathcal{S}} [/mm] S =X
[mm] \Leftarrow)
[/mm]
X= [mm] \bigcup_{S \in \mathcal{S}} [/mm] S
ZZ.: [mm] \mathcal{B}=\{ \bigcap_{i=1}^n S_i | S_i \in \mathcal{S}, n \in \mathbb{N}\} [/mm] Basis von [mm] \tau
[/mm]
Dazu muss man zeigen:
1) [mm] \bigcup_{B \in \mathcal{B}}B=X
[/mm]
[mm] \bigcap_{j\in\emptyset} S_j [/mm] = X nach Konvention
2) [mm] \forall B_1, B_2 \in \mathcal{B} \forall [/mm] x [mm] \in B_1 \cap B_2 \exists B_3 \in \mathcal{B}: [/mm] x [mm] \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2
[/mm]
Bew.: Setze [mm] B_3= B_1 \cap B_2 [/mm] , Denn [mm] B_1 \cap B_2 [/mm] = [mm] \bigcap_{i=1}^{n_1} S_i \cap \bigcap_{i=1}^{n_2} S_i= \bigcap_{i=1}^{max\{n_1,n_2\}} S_i \rightarrow [/mm] endliche Durschnitt aus Elementen von [mm] \mathcal{S}
[/mm]
Daraus folgt [mm] \mathcal{B}=\{ \bigcap_{i=1}^n S_i | S_i \in \mathcal{S}, n \in \mathbb{N}\} [/mm] Basis für die erzeugte Topologie [mm] \overline{\tau}= \{ \bigcup_{i\in I}\ B |B \in \mathcal{B}\} [/mm] und [mm] \mathcal{S} [/mm] Subbasis von [mm] \overline{\tau} [/mm] nach Definition von [mm] \overline{\tau}.
[/mm]
Es fehlt noch, dass [mm] \mathcal{B} [/mm] auch eine Basis von [mm] \tau [/mm] ist oder??
2)
Ich hab noch eine Subbasis-Definition gefunden:
(X, [mm] \tau) [/mm] TR
[mm] \mathcal{S} \subseteq \tau [/mm] is eine Subbasis für X [mm] \iff \forall [/mm] O in [mm] \tau \forall x\in [/mm] O: [mm] \exists [/mm] endlich viele [mm] S_1,..,S_n \in \mathcal{S}: [/mm] x [mm] \in S_1 \cap S_2 [/mm] .. [mm] \cap S_n \subseteq [/mm] O
[mm] \Rightarrow)
[/mm]
Sei O [mm] \in \tau, [/mm] x [mm] \in [/mm] O
Da [mm] \mathcal{B}=\{ \bigcap_{i=1}^n S_i | S_i \in \mathcal{S}, n \in \mathbb{N}\} [/mm] Basis für die Topologie ist
folgt [mm] \exists [/mm] I: O= [mm] \bigcup_{i\in I} B_i [/mm] mit [mm] B_i \in \mathcal{B}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] O= [mm] \bigcup_{i\in I} \bigcap_{j=1}^{n_i} S_{ji}
[/mm]
[mm] \exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I : x [mm] \in B_i \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \bigcap_{j=1}^{n_i} S_{ji} \subseteq [/mm] O
[mm] \Leftarrow)
[/mm]
[mm] ZZ.:\mathcal{B}=\{\bigcap_{i=1}^n S_i | S_i \in \mathcal{S}, n \in \mathbb{N}\} [/mm] Basis von [mm] \tau
[/mm]
Sei O [mm] \in \tau: \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] O [mm] \exists S_1,..,S_n \in \mathcal{S}: [/mm] x [mm] \in S_1 \cap..\cap S_n \subseteq [/mm] O
D.h. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] O [mm] \exists [/mm] B [mm] \subseteq \mathcal{B}: [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] O für B [mm] \in \mathcal{B} \Rightarrow \mathcal{B} [/mm] Basis für [mm] \tau.
[/mm]
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Do 17.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile!
> Sei [mm](\tau,[/mm] X) ein TR
> Eine Teilfamilie [mm]\mathcal{S}[/mm] von [mm]\tau[/mm] heißt Subbasis von
> [mm]\tau[/mm] wenn [mm]\mathcal{B}:= \{ \bigcap_{i=1}^n S_i | S_i \in \mathcal{S}, n \in \mathbb{N}\}[/mm]
> Basis von (X, [mm]\tau)[/mm] ist.
Gehört bei euch die 0 zu den natürlichen Zahlen?
Davon gehe ich im Folgenden mal aus, denn ansonsten passt diese Definition nicht zu der mir (aus Wikipedia) bekannten.
Zählen wir die 0 zu den natürlichen Zahlen, müssen wir die Konvention [mm] $\bigcap_{i=1}^0S_i:=X$ [/mm] treffen.
> Was wiedrrum bedeutet [mm]\forall[/mm] O [mm]\in \tau:[/mm] O= [mm]\bigcup_{i\in I} \bigcap_{j=1}^{n_i} S_{ji}[/mm]
... für gewisse natürliche Zahlen [mm] $n_i$, $i\in [/mm] I$, und gewisse [mm] $S_{ji}\in\mathcal{S}$, $i\in [/mm] I$, [mm] $j=1,\ldots,n_i$.
[/mm]
> Ich habe mir 2 äquivalente Definitionen rausgesucht und
> versucht die Äquivalenz zu zeigen:
Wir haben also jeweils einen topologischen Raum [mm] $(X,\tau)$ [/mm] und eine Teilmenge [mm] $\mathcal{S}\subseteq\tau$ [/mm] gegeben?
> [mm]1)\mathcal{S}[/mm] ist eine Subbasis für (X, [mm]\tau) \gdw\bigcup_{S \in \mathcal{S}}[/mm] S =X
Diese Aussage ist falsch.
Die einfachste Möglichkeit, sie zu retten sehe ich wie folgt:
Wir zählen die 0 in obiger Definition einer Subbasis für diese Zwecke NICHT zu den natürlichen Zahlen.
Sei X eine Menge und [mm] $\mathcal{S}\subseteq\matcal{P}(X)$.
[/mm]
Dann existiert genau dann eine Topologie [mm] $\tau$ [/mm] auf $X$, die [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] als Subbasis besitzt, wenn [mm] $\bigcup_{S \in \mathcal{S}} [/mm] S =X$ gilt.
> [mm]\Rightarrow)[/mm]
> [mm]\mathcal{B}= \{ \bigcap_{i=1}^n S_i | S_i \in \mathcal{S}, n \in \mathbb{N}\}[/mm]
> Basis von [mm]\tau \Rightarrow \bigcup_{B \in \mathcal{B}}[/mm] B=
> X
Ja, das kann man leicht zeigen.
> Sei y [mm]\in[/mm] X [mm]\Rightarrow \exists B_i \in \mathcal{B}:[/mm] y [mm]\in B_i[/mm]
Ja.
> Da [mm]B_i[/mm] aus endlichen vielen Schnitten von Elementen
> [mm]S_1,..,S_{n_i}[/mm] besteht besteht folgt y [mm]\in \bigcap_{j=1}^{n_i} S_j[/mm]
Ich würde diese Überlegung so formulieren: Wegen [mm] $B_i\in\mathcal{B}$ [/mm] gilt [mm] $B_i=\bigcap_{j=1}^nS_j$ [/mm] für eine gewisse natürliche Zahl n und gewisse [mm] $S_1,\ldots,S_n\in\mathcal{S}$.
[/mm]
> . Da die [mm]S_j \in \mathcal{S} \forall[/mm] j [mm]\in \{1,..,n_i\}[/mm]
> folgt y [mm]\in \mathcal{S}[/mm]
Nein, nicht [mm] $y\in\mathcal{S}$, [/mm] sondern [mm] $y\in\bigcup_{S\in\mathcal{S}}S$.
[/mm]
Hier brauchen wir die Annahme, dass die $0$ keine natürliche Zahl ist:
Deshalb gilt [mm] $n\ge [/mm] 1$ und damit [mm] $y\in S_1$.
[/mm]
Insbesondere tatsächlich [mm] $y\in\bigcup_{S\in\mathcal{S}}S$.
[/mm]
> Ang. [mm]y\in[/mm] S für ein S [mm]\in \mathcal{S}[/mm]
> folgt trivialerweiße y [mm]\in[/mm] X.
OK.
> [mm]\Rightarrow \bigcup_{S \in \mathcal{S}}[/mm] S =X
Ja.
> [mm]\Leftarrow)[/mm]
> X= [mm]\bigcup_{S \in \mathcal{S}}[/mm] S
> ZZ.: [mm]\mathcal{B}=\{ \bigcap_{i=1}^n S_i | S_i \in \mathcal{S}, n \in \mathbb{N}\}[/mm]
> Basis von [mm]\tau[/mm]
> Dazu muss man zeigen:
> 1) [mm]\bigcup_{B \in \mathcal{B}}B=X[/mm]
> [mm]\bigcap_{j\in\emptyset} S_j[/mm]
> = X nach Konvention
Wenn 0 eine natürliche Zahl ist, gilt daher [mm] $X\in\mathcal{B}$, [/mm] was wie gewünscht [mm] $\bigcup_{B\in\mathcal{B}}B=X$ [/mm] impliziert.
Falls 0 keine natürliche Zahl ist, musst du zum Nachweis von [mm] $\bigcup_{B\in\mathcal{B}}=X$ [/mm] die Annahme [mm] $\bigcup_{S\in\mathcal{S}}S=X$ [/mm] ausnutzen.
> 2) [mm]\forall B_1, B_2 \in \mathcal{B} \forall[/mm] x [mm]\in B_1 \cap B_2 \exists B_3 \in \mathcal{B}:[/mm]
> x [mm]\in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2[/mm]
> Bew.: Setze [mm]B_3= B_1 \cap B_2[/mm]
Gute Idee.
> , Denn [mm]B_1 \cap B_2[/mm] = [mm]\bigcap_{i=1}^{n_1} S_i \cap \bigcap_{i=1}^{n_2} S_i= \bigcap_{i=1}^{max\{n_1,n_2\}} S_i \rightarrow[/mm]
Warum sollten die gleichen [mm] $S_i$ [/mm] zur Darstellung von [mm] $B_1$ [/mm] und [mm] $B_2$ [/mm] als (endlicher) Schnitt von Mengen aus [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] geeignet sein?
Ich sehe nur Folgendes:
Es gilt [mm] $B_1=\bigcap_{i=1}^{n_1}S_{i1}$ [/mm] und [mm] $B_2=\bigcap_{i=1}^{n_2}S_{i2}$ [/mm] für gewisse [mm] $S_{11},S_{21},\ldots,S_{n_11}\in\mathcal{S}$ [/mm] und gewisse [mm] $S_{12},S_{22},\ldots,S_{n_22}\in\mathcal{S}$.
[/mm]
Somit folgt
[mm] $B_1\cap B_2=(S_{11}\cap S_{21}\cap\ldots\cap S_{n_11})\cap(S_{12}\cap S_{22}\cap\ldots\cap S_{n_22})$.
[/mm]
> endliche Durschnitt aus Elementen von [mm]\mathcal{S}[/mm],
Ja.
> Daraus folgt [mm]\mathcal{B}=\{ \bigcap_{i=1}^n S_i | S_i \in \mathcal{S}, n \in \mathbb{N}\}[/mm]
> Basis für die erzeugte Topologie [mm]\overline{\tau}= \{ \bigcup_{i\in I}\ B |B \in \mathcal{B}\}[/mm]
> und [mm]\mathcal{S}[/mm] Subbasis von [mm]\overline{\tau}[/mm] nach
> Definition von [mm]\overline{\tau}.[/mm]
Ja.
> Es fehlt noch, dass [mm]\mathcal{B}[/mm] auch eine Basis von [mm]\tau[/mm]
> ist oder??
In der ursprünglichen Aussage wäre genau das nun zu zeigen.
Aber die ursprüngliche Aussage ist an dieser Stelle schlicht falsch.
Daher wird kein Beweis gelingen.
> 2)
> Ich hab noch eine Subbasis-Definition gefunden:
> (X, [mm]\tau)[/mm] TR
> [mm]\mathcal{S} \subseteq \tau[/mm] is eine Subbasis für X [mm]\iff \forall[/mm]
> O in [mm]\tau \forall x\in[/mm] O: [mm]\exists[/mm] endlich viele [mm]S_1,..,S_n \in \mathcal{S}:[/mm]
> x [mm]\in S_1 \cap S_2[/mm] .. [mm]\cap S_n \subseteq[/mm] O
Diese Aussage passt unabhängig davon, ob man die 0 zu den natürlichen Zahlen zählt oder nicht; man muss es nur bei beiden Subbasis-Bedingungen gleich handhaben.
> [mm]\Rightarrow)[/mm]
> Sei O [mm]\in \tau,[/mm] x [mm]\in[/mm] O
> Da [mm]\mathcal{B}=\{ \bigcap_{i=1}^n S_i | S_i \in \mathcal{S}, n \in \mathbb{N}\}[/mm]
> Basis für die Topologie ist
> folgt [mm]\exists[/mm] I: O= [mm]\bigcup_{i\in I} B_i[/mm] mit [mm]B_i \in \mathcal{B}[/mm]
OK.
> [mm]\Rightarrow[/mm] O= [mm]\bigcup_{i\in I} \bigcap_{j=1}^{n_i} S_{ji}[/mm]
... für gewisse Mengen [mm] $S_{ji}\in\mathcal{S}$ [/mm] mit [mm] $B_i=\bigcap_{j=1}^{n_i}S_{ji}$ [/mm] für alle [mm] $i\in [/mm] I$.
> [mm]\exists[/mm] i [mm]\in[/mm] I : x [mm]\in B_i \Rightarrow[/mm] x [mm]\in \bigcap_{j=1}^{n_i} S_{ji} \subseteq[/mm]
> O
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\Leftarrow)[/mm]
> [mm]ZZ.:\mathcal{B}=\{\bigcap_{i=1}^n S_i | S_i \in \mathcal{S}, n \in \mathbb{N}\}[/mm]
> Basis von [mm]\tau[/mm]
> Sei O [mm]\in \tau: \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] O [mm]\exists S_1,..,S_n \in \mathcal{S}:[/mm]
> x [mm]\in S_1 \cap..\cap S_n \subseteq[/mm] O
> D.h. [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] O [mm]\exists[/mm] B [mm]\subseteq \mathcal{B}:[/mm] x
> [mm]\in[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] O für B [mm]\in \mathcal{B} [/mm]
Du meinst sicherlich [mm] $\exists B\in\mathcal{B}$ [/mm] statt [mm] $\exists B\subseteq\mathcal{B}$.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow \mathcal{B}[/mm]
> Basis für [mm]\tau.[/mm]
Diesen Schritt verstehe ich nicht (es sei denn, du nutzt hier ein bestimmtes schon bekanntes Kriterium für eine Basis).
Je nach Definition einer Basis wäre (ohne passendes Kriterium für eine Basis) wahrscheinlich die Menge $O$ als Vereinigung von Mengen aus B darzustellen.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Do 17.09.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo tobit,
Danke für deine Antwort.
1)
Also zusammengefasst ist der Satz mit der Konvention [mm] \bigcap_{i \in \emptyset} S_i= [/mm] X reduzierbar auf:
Sei X eine Menge und [mm] \mathcal{S}\subseteq [/mm] P(X) so [mm] \exists [/mm] eine eindeutige Topologie [mm] \tau [/mm] auf X mit [mm] \mathcal{S} [/mm] als Subbasis.
Mit der Konnvention [mm] \bigcap_{i \in \emptyset} S_i [/mm] =X brauche ich keine Voraussetzungen für die Gültigkeit des obigen Satzes.
Ohne Konvention brauche ich für [mm] \bigcup_{B \in \mathcal{B}} [/mm] B =X die Voraussetzung [mm] \bigcup_{S \in \mathcal{S}} [/mm] S=X?
Aber es gilt doch dann [mm] \mathcal{B} \subseteq \mathcal{S} [/mm] mit $ [mm] \mathcal{B}:= \{ \bigcap_{i=1}^n S_i | S_i \in \mathcal{S}, n \in \mathbb{N}\} [/mm] $, wie folgt dann [mm] \bigcup_{B \in \mathcal{B}} [/mm] B =X?
2) Die zweite Aussage kann man also so stehen lassen?
In meinen Skript von früher steht nur die Konvention [mm] \bigcap_{i \in \emptyset} S_i [/mm] =X und damit ist wahrscheinlich der Fall n= 0 gemeint.
> Diesen Schritt verstehe ich nicht (es sei denn, du nutzt hier ein bestimmtes schon bekanntes Kriterium für eine Basis).
Genau ich verwende eine alternative Charakteristik von Basen:
Sei [mm] (X,\tau) [/mm] ein TR:
[mm] \forall [/mm] O [mm] \in \tau: [/mm] O= [mm] \bigcup_{i\in I} B_i (B_i \in \mathcal{B})
[/mm]
[mm] \iff
[/mm]
[mm] \forall [/mm] O [mm] \in \tau \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] O [mm] \exists B_x \in \mathcal{B}: [/mm] x [mm] \in B_x \subseteq [/mm] O
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Do 17.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
> 1)
> Also zusammengefasst ist der Satz mit der Konvention
> [mm]\bigcap_{i \in \emptyset} S_i=[/mm] X reduzierbar auf:
> Sei X eine Menge und [mm]\mathcal{S}\subseteq[/mm] P(X) so [mm]\exists[/mm]
> eine eindeutige Topologie [mm]\tau[/mm] auf X mit [mm]\mathcal{S}[/mm] als
> Subbasis.
>
> Mit der Konnvention [mm]\bigcap_{i \in \emptyset} S_i[/mm] =X
> brauche ich keine Voraussetzungen für die Gültigkeit des
> obigen Satzes.
Ja, abgesehen davon, dass wir i.A. [mm] $0\in\IN$ [/mm] benötigen, was [mm] $X=\bigcap_{i=1}^0S_i\in\mathcal{B}$ [/mm] sicherstellt.
> Ohne Konvention brauche ich für [mm]\bigcup_{B \in \mathcal{B}}[/mm]
> B =X die Voraussetzung [mm]\bigcup_{S \in \mathcal{S}}[/mm] S=X?
Die Konvention lässt sich nur vermeiden, wenn wir [mm] $0\notin\IN$ [/mm] annehmen oder unsere Definition von [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] so abändern, dass dort drin [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] statt [mm] $n\in\IN$ [/mm] steht:
Ansonsten würden wir für $n=0$ innerhalb der Definition von [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] den nicht wohldefinierten Ausdruck [mm] $\bigcap_{i=1}^0S_i$ [/mm] erhalten.
Wenn wir nun z.B. [mm] $0\notin\IN$ [/mm] annehmen und so auf die Konvention "leerer Schnitt = X" verzichten können, so müssten wir in der Tat [mm] $\bigcup_{S \in \mathcal{S}}S=X$ [/mm] voraussetzen, um [mm] $\bigcup_{B\in\mathcal{B}}B=X$ [/mm] und damit die Eigenschaft von [mm] $\mathcal{B}$, [/mm] Basis einer Topologie auf X zu sein, zu erhalten.
> Aber es gilt doch dann [mm]\mathcal{B} \subseteq \mathcal{S}[/mm]
> mit [mm]\mathcal{B}:= \{ \bigcap_{i=1}^n S_i | S_i \in \mathcal{S}, n \in \mathbb{N}\} [/mm],
Nein, das gilt im Allgemeinen nicht.
Aber es gilt die umgekehrte Teilmengenbeziehung [mm] $\mathcal{S}\subseteq\mathcal{B}$, [/mm] denn für jedes [mm] $S\in\mathcal{S}$ [/mm] gilt [mm] $S=\bigcap_{i=1}^1S\in\mathcal{B}$.
[/mm]
> wie folgt dann [mm]\bigcup_{B \in \mathcal{B}}[/mm] B =X?
Wegen [mm] $\mathcal{S}\subseteq\mathcal{B}$ [/mm] gilt auch [mm] $\bigcup_{S\in\mathcal{S}}S\subseteq\bigcup_{B\in\mathcal{B}}B$, [/mm] wie sich leicht verifizieren lässt.
Gilt nun [mm] $\bigcup_{S\in\mathcal{S}}S=X$, [/mm] so erhalten wir insgesamt
[mm] $X=\bigcup_{S\in\mathcal{S}}S\subseteq\bigcup_{B\in\mathcal{B}}B\subseteq [/mm] X$
und somit wie gewünscht [mm] $\bigcup_{B\in\mathcal{B}}B=X$.
[/mm]
> 2) Die zweite Aussage kann man also so stehen lassen?
Ja.
> In meinen Skript von früher steht nur die Konvention
> [mm]\bigcap_{i \in \emptyset} S_i[/mm] =X und damit ist
> wahrscheinlich der Fall n= 0 gemeint.
Damit ist sicherlich auch die Konvention [mm] $\bigcap_{i=1}^0S_i=X$ [/mm] gemeint.
Ob 0 bei euch eine natürliche Zahl ist, lässt sich daraus nicht ablesen.
Am besten, du fragst den/die Dozenten/in einfach mal danach (am besten mit Erläuterung des Hintergrundes der Frage; denn manche Dozenten übersehen schon einmal, dass für ihre Zwecke die Frage, ob [mm] $0\in\IN$ [/mm] gelten soll, wichtig ist).
> > Diesen Schritt verstehe ich nicht (es sei denn, du nutzt
> hier ein bestimmtes schon bekanntes Kriterium für eine
> Basis).
> Genau ich verwende eine alternative Charakteristik von
> Basen:
> Sei [mm](X,\tau)[/mm] ein TR:
> [mm]\forall[/mm] O [mm]\in \tau:[/mm] O= [mm]\bigcup_{i\in I} B_i (B_i \in \mathcal{B})[/mm]
>
> [mm]\iff[/mm]
> [mm]\forall[/mm] O [mm]\in \tau \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] O [mm]\exists B_x \in \mathcal{B}:[/mm]
> x [mm]\in B_x \subseteq[/mm] O
Dann passt deine Argumentation an der entsprechenden Stelle!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Do 17.09.2015 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank!
Mit deinen Erlärungen ist es nun für mich klar geworden!
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Do 17.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Ich wiederhole gerade die topologischen Begriffe und habe
> gemerkt, dass ich Probleme mit der Subbasis habe.
Vielleicht noch ein wenig zum allgemeinen Begriffs-Verständnis:
Ich nehme dafür [mm] $0\in\IN$ [/mm] an.
Sei ein topologischer Raum [mm] $(X,\tau)$ [/mm] vorgegeben.
Wann ist ein Mengensystem [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] nun eine Subbasis von [mm] $(X,\tau)$?
[/mm]
Zunächst einmal ist dafür Definitions-gemäß [mm] $\mathcal{S}\subseteq\tau$ [/mm] notwendig.
Die Wahl von einer Subbasis [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] entspricht somit der Auswahl gewisser offener Mengen [mm] $S\in\tau$.
[/mm]
Dann (d.h. für beliebiges [mm] $\mathcal{S}\subseteq\tau$) [/mm] besteht auch das Mengensystem [mm] $\mathcal{B}:=\{\bigcap_{i=1}^nS_i\;|\;n\in\IN,S_i\in \mathcal{S}\text{ für }i=1,\ldots,n\}$ [/mm] nur aus bezüglich [mm] $\tau$ [/mm] offenen Mengen.
Damit besteht auch
[mm] $\tau':=\{\bigcup_{B\in\mathcal{B}'}B\;|\;\mathcal{B}'\subseteq B\}$
[/mm]
nur aus bezüglich [mm] $\tau$ [/mm] offenen Mengen, d.h. [mm] $\tau'\subseteq\tau$.
[/mm]
Soll [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] eine Subbasis von [mm] $(X,\tau)$ [/mm] sein, so muss auch [mm] $\tau\subseteq\tau'$ [/mm] gelten, d.h. jede bezüglich [mm] $\tau$ [/mm] offene Menge, muss sich als Vereinigung von endlichen Schnitten von offenen Mengen aus [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] darstellen lassen.
Dazu muss [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] "hinreichend viele" bezüglich [mm] $\tau$ [/mm] offene Mengen enthalten.
(Präzise: Ist [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] eine Subbasis von [mm] $(X,\tau)$, [/mm] so ist auch jedes Mengensystem [mm] $\mathcal{S}'\subseteq\tau$ [/mm] mit [mm] $\mathcal{S}'\supseteq\mathcal{S}$ [/mm] eine Subbasis von [mm] $(X,\tau)$.)
[/mm]
Für jedes Mengensystem [mm] $\mathcal{S}\subseteq\tau$ [/mm] gilt mit obigen zugehörigen Definitionen von [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] und [mm] $\tau'$:
[/mm]
[mm] $\mathcal{S}\subseteq\mathcal{B}\subseteq\tau'\subseteq\tau$.
[/mm]
[mm] $\tau'$ [/mm] ist dabei die (bezüglich [mm] "$\subseteq$") [/mm] kleinste Topologie auf $X$, die [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] umfasst (man spricht auch von der von [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] erzeugten Topologie auf $X$).
[mm] $\mathcal{S}$ [/mm] ist genau dann eine Subbasis von [mm] $(X,\tau)$, [/mm] wenn diese Topologie [mm] $\tau'$ [/mm] ganz [mm] $\tau$ [/mm] entspricht.
Somit ist der Begriff der Subbasis in gewisser Hinsicht mit dem Begriff eines Erzeugendensystems eines Vektorraumes vergleichbar.
Jede Basis eines topologischen Raumes ist insbesondere eine Subbasis.
Jeder topologische Raum [mm] $(X,\tau)$ [/mm] besitzt eine triviale Basis, nämlich [mm] $\mathcal{S}:=\tau$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 So 20.09.2015 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank für die ganzen Erklärungen!
LG,
sissi
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