Sturm Liouvillsche Randwertpro < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Mo 27.10.2008 | | Autor: | Jojo987 |
| Aufgabe | Lösen sie die folgendes Sturm-Liouvillsches Randwertproblem:
[mm] y''+\lambda*y=0 [/mm] ; [mm] y'(\pi)=y'(2\pi)=0 [/mm] |
ich habe leider fast keine ahnung bei den Sturm-Liouvillschen Randwertproblen.
ich komme durch euler auf [mm] \lambda=-w^{2}
[/mm]
nun muss ic die Fälle unterscheiden was bei [mm] \lambda<0, [/mm] wann>0 und =0 passiert.
dazu muss ich die allgemeine Lösung hinschreiben.
in einer Lösung habe ich gesehen dass die allg. Lösung für [mm] \lambda=-w^{2}<0 [/mm] lautet:
a*cosh(wx)+b*sinh(wx)
nur mir ist nicht klar wie das zustande kommt.
gut cosh ist definiert durch [mm] \bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x}) [/mm] und der sinh analog dazu als [mm] \bruch{1}{2}(e^{x}-e^{-x})
[/mm]
doch ich schaffe es nicht von der euler form auf diese Lösung zu kommen. gibt es da einen andere Methode?
Wie schaut diese Lösung für beispielsweise [mm] y''+y'+\lambda*y=0 [/mm] aus?
Vielen dank für antworten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Mo 27.10.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Johannes,
ich habe das Gefühl, dass Dir zunächst nicht ganz klar ist, was Sinn einer solchen Sturm Liouvillschen Aufgabe ist. Eine Lösung des Randwertproblems anzugeben, ist zunächst einmal sehr einfach, denn die Nullfunktion löst diese Aufgabe für jedes [mm] \lambda. [/mm] Die eigentliche Aufgabe besteht aber darin, dass es für bestimmte reellwertige [mm] \lambda [/mm] Lösungen y(x) gibt, die nicht die Nullfunktion sind. Solche [mm] \lambda [/mm] nennt man Eigenwerte, die zugehörigen Lösungen Eigenfunktionen. Dies ist die gleiche Begriffsbildung wie in der linearen Algebra, wenn man z.B. einen Operator Ay= -y'' definiert. Dann heißt die Aufgabe nämlich Ay = [mm] \lambda [/mm] y. Mit jeder Eigenfunktion y(x) ist auch c*y(x) eine Eigenfunktion. Die Sturm Liouvillschen Aufgaben haben eine allgemeinere Form, obiges Beispiel ist eine spezielle Aufgabe.
Wie geht man nun bei der Lösung vor?
Die Differentialgleichung -y'' = [mm] \lambda [/mm] y ist zwar formal eine Eulersche, sie ist aber insbesondere eine lineare DGl mit konstanten Koeffizienten. Dafür gibt es zwar einen allgemeinen Ansatz, aber hier sieht man, dass sowohl [mm] a*sin(\omega [/mm] x) als auch [mm] b*cos(\omega [/mm] x) Lösungen sind, wenn man [mm] \omega [/mm] = [mm] \wurzel{\lambda} [/mm] setzt und [mm] \lambda [/mm] > 0 ist (denk dran [mm] \lambda [/mm] ist reell), und da es eine lineare DGl ist, auch die Summe der beiden.
Mit diesem Wissen solltest Du jetzt erstmal selber weitermachen (Randbedingungen nicht vergessen).
Gruß
Uli
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