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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 So 18.05.2008 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Seien f,g: [mm] R^3 [/mm] -> R lineare Abbildungen. Sei ß: [mm] R^3 [/mm] x [mm] R^3 [/mm] -> R eine Bilinearform definiert durch ß(v,w) = f(v)g(w).
a, Zeigen sie: Es existieren [mm] a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 [/mm] mit
[mm] f(v_1,v_2,v_3) [/mm] = [mm] a_1v_1 [/mm] + [mm] a_2v_2 [/mm] + [mm] a_3v_3)
[/mm]
[mm] g(v_1,v_2,v_3) [/mm] = [mm] b_1v_1 [/mm] + [mm] b_2v_2 [/mm] + [mm] b_3v_3)
[/mm]
b, Gib die Strukurmatrix bzgl der Standardbasis von [mm] R^3 [/mm] an |
Also:
Bei a, hab ich ehrlich gesagt keine Ahnung wie ich das ansetzen sollte.
Da bräuchte ich mal einen Hinweis.
Bei b, hab ich mir das so gedacht. Die Einträge der Grammatrix sind ja die Skalarprodukte der Basisvektoren. Also
[mm] ß(e_1, e_1) [/mm] = [mm] f(e_1)g(e_1) [/mm] = [mm] a_1 [/mm] * 1 * [mm] b_1 [/mm] * 1 = [mm] a_1b_1
[/mm]
[mm] ß(e_1,e_2) [/mm] = [mm] f(e_1)g(e_2) [/mm] = [mm] a_1b_2
[/mm]
Dies wären dann die ersten Einträge der Matrix (die Einträge 1,1 und 1,2).
Stimmt das Vorgehen so wie ich die Einträge der Matrix berechne? Oder ist das irgendwie anders gemeint??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 So 18.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Bei a, hab ich ehrlich gesagt keine Ahnung wie ich das
> ansetzen sollte.
> Da bräuchte ich mal einen Hinweis.
setze einfach mal [mm] $a_1 [/mm] = f(1, 0, 0)$ [mm] $a_2 [/mm] = f(0, 1, 0)$ und [mm] $a_3 [/mm] = f(0, 0, 1)$ und probiere mit der linearität das gewünschte zu zeigen.
> Bei b, hab ich mir das so gedacht. Die Einträge der
> Grammatrix sind ja die Skalarprodukte der Basisvektoren.
> Also
>
> [mm]ß(e_1, e_1)[/mm] = [mm]f(e_1)g(e_1)[/mm] = [mm]a_1[/mm] * 1 * [mm]b_1[/mm] * 1 = [mm]a_1b_1[/mm]
>
> [mm]ß(e_1,e_2)[/mm] = [mm]f(e_1)g(e_2)[/mm] = [mm]a_1b_2[/mm]
>
> Dies wären dann die ersten Einträge der Matrix (die
> Einträge 1,1 und 1,2).
>
> Stimmt das Vorgehen so wie ich die Einträge der Matrix
> berechne? Oder ist das irgendwie anders gemeint??
das stimmt so (wenn du mit [mm] $e_1 [/mm] = (1, 0, 0)$ und so weiter bezeichnest).
grüße
andreas
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