Strikte Positivität Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie: Sei f : I = [a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] eine stetige Funktion mit [mm] f(x)\ge0 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a,b], dann gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=0 \Rightarrow [/mm] f = 0 |
Meine Frage wäre, kann ich da auch mit einem Gegenbeispiel arbeiten wie beispielsweis cos(x) oder sin(x), wenn das nicht geht, wie gehe ich bei dem Beweis vor....
Ich weiß schon mal, dass ich die Kontraposition einnehmen werde.
Kann ich mich bei dem Beweis an die Definition des Integrals halten, also, dass die Ober- und Untersumme gleich sein müssen und daraus folgern, dass die Funktion null sein muss ??
oder stelle ich mich doof an ??
Für Antworten bin ich sehr dankbar....
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Hallo,
> Zeigen Sie: Sei f : I = [a,b] [mm]\rightarrow \IR[/mm] eine stetige
> Funktion mit [mm]f(x)\ge0[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] [a,b], dann gilt:
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=0 \Rightarrow[/mm] f = 0
> Meine Frage wäre, kann ich da auch mit einem
> Gegenbeispiel arbeiten wie beispielsweis cos(x) oder
> sin(x),
???
Wenn du etwas beweisen sollst, wird es kein Gegenbeispiel zu der Aussage geben!
[mm] $\cos(x)$ [/mm] und [mm] $\sin(x)$ [/mm] sind jedenfalls keine positive Funktionen, bzw. wenn du positive Bereiche betrachtest wird das Integral nicht Null.
> wenn das nicht geht, wie gehe ich bei dem Beweis
> vor....
> Ich weiß schon mal, dass ich die Kontraposition einnehmen
> werde.
Genau, also ein Widerspruchsbeweis.
Angenommen, es gäbe eine stetige Funktion [mm] $f:[a,b]\to \IR$ [/mm] mit $f(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $f(x) [mm] \ge [/mm] 0$, und diese Funktion erfüllt
[mm] $\int_{a}^{b}f(x) [/mm] \ dx = 0$ und $f [mm] \not= [/mm] 0$.
[Du musst hier nicht mit Untersummen und Obersummen arbeiten!]
Die Beweisidee ist folgende: Wenn die Funktion f nicht die Nullfunktion ist, gibt es eine Stelle, an welcher f einen Funktionswert [mm] \not= [/mm] 0 annimmt.
Weil die Funktion f stetig ist, nimmt sie auch in einer Umgebung von diesem Wert positive Werte an....
Kommst du damit weiter?
Selbst wenn nicht: Versuche erstmal, das obige formal aufzuschreiben.
Grüße,
Stefan
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