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Hallo.
Habe folgende Aufgabe:
Sei F = [mm] \vektor{2xy+e^z \\ x^2 - e^y \\ xz^2} [/mm] ein Vektorfeld.
(a) Ist F ein Gradientenfeld?
(b) Berechnen Sie [mm] \integral_{k} [/mm] F , wobei k die Strecke von (1,1,1) nach (1,0,2) ist.
So, Teil a) war ja noch einfach. F ist kein Gradientenfeld und hat deshalb meines Wissens nach auch kein Potential. (Korrigiert mich, wenn ich da falsch liege.)
Wenn ich jetzt b) berechne bekomme ich nicht die vorgegebene Lösung.
Ich integriere quasi Fx nach x, Fy nach y, Fz nach z. Daraus ergibt sich:
[mm] x^{2}*y+x*{e^z} [/mm] , [mm] {x^2}*y-{e^y} [/mm] , [mm] \bruch{z^{3}*x}{3}
[/mm]
Diese drei zusammen ergeben:
[mm] 2*x^{2}*y+x*e^{z}+\bruch{z^{3}*x}{3}-e^{y}
[/mm]
So, und ich dachte das die Lösung für das Integral dann gleich
[mm] (2*x^{2}*y+x*e^{z}+\bruch{z^{3}*x}{3}-e^{y}) [/mm] - [mm] (2*x^{2}*y+x*e^{z}+\bruch{z^{3}*x}{3}-e^{y})
[/mm]
Oberer Punkt Unterer Punkt
ist. Wenn ich da aber in die Gleichung für den Oberen Punkt (1,0,2) und in die Gleichung für den unteren Punkt (1,1,1) einsetze bekomme ich
[mm] e^{2}+ \bruch{5}{3} [/mm] - [mm] \bruch{7}{3} [/mm] = [mm] e^{2} [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Unser Prof hat aber als Lösung
e + [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
angegeben.
Kann mir jemand zeigen wo mein Fehler ist? Oder ist die Lösung vom Prof falsch?
MFG Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Fire21 |
Hi,
zunächst einmal stimmt es, dass F kein Potentialfeld ist.
Wie du dann aber das Linienintegral ausrechnest, sieht nicht so schön aus.....
Allgemein berechnet man das Linienintegral eines Vektorfeldes F über eine Kurve K, indem man sich eine (zur expliziten Ausrechnung natürlich möglichst geschickte) Parametrisierung der Kurve hinschreibt, sei also
[mm] \gamma [/mm] : [mm] [a;b]\longrightarrow \IR^{3} t\mapsto \gamma(t)
[/mm]
eine Parametrisierung der Kurve K, dann gilt definitionsgemäß:
[mm] \int_{K} [/mm] F(x) dx = [mm] \int_{a}^{b} F(\gamma(t))\cdot \dot{\gamma}(t) [/mm] dt
(Das Produkt im zweiten Integral ist das Standardskalarprdoukt).
In deinem Fall wäre eine naheliegende Parameitrisierung der Strecke K:
[mm] \gamma [0;1]\longrightarrow \IR^{3} t\mapsto [/mm] (1,1,1)+t*(0,-1,1)
Rechnet man nun wie oben beschrieben das Kurvenintegral aus, erhält man genau das Ergebnis, das dein Prof. angegeben hat.
Wenn du noch weitere Fragen hast, stell sie einfach.
Gruß
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Hallo.
Erstmal danke für die schnelle Antwort.
Das ich da was ganz grob falsch mache war mir schon bewußt, deshalb hab ich ja gefragt 
Also:
$ [mm] [a;b]\longrightarrow \IR^{3} t\mapsto \gamma(t) [/mm] $ : ist ja so gegeben oder?
$ [mm] \int_{a}^{b} F(\gamma(t))\cdot \dot{\gamma}(t) [/mm] $ : ist quasi auch gegeben (im Papula)
$ [mm] \gamma [0;1]\longrightarrow \IR^{3} t\mapsto [/mm] $ (1,1,1)+t*(0,-1,1) : Wie kommst Du auf $ [mm] \gamma [/mm] [0;1] $ ? Und wie von da auf (1,1,1)+t*(0,-1,1) ?
Und wie rechne ich jetzt damit ?
Hab jetzt irgendwie ein Schwarzes Loch im Hirn !
Kannst Du's mal einzeln vorrechnen?
MFG Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Patrick!
Die Strecke zwischen [mm] $\pmat{1 \\ 1 \\ 1}$ [/mm] und [mm] $\pmat{1 \\ 0 \\2}$ [/mm] wird ja durch
[mm] $\gamma\, [/mm] : [mm] \, \begin{array}{ccc} [0,1] & \to & \IR^3 \\[5pt] t & \mapsto & \gamma(t):= \pmat{1 \\ 1 \\ 1} + t \cdot \left[ \pmat{1 \\ 0 \\ 2} - \pmat{1 \\ 1 \\ 1} \right] \end{array}$
[/mm]
parametrisiert, und rechnet man das rechts aus, dann erhält man halt:
[mm] $\gamma(t) [/mm] = [mm] \pmat{1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] + t [mm] \cdot \pmat{0 \\ - 1 \\ 1}$.
[/mm]
Nun gilt weiter:
[mm] $F(\gamma(t)) \* \gamma'(t) [/mm] = [mm] F_1(\gamma(t)) \cdot \gamma_1'(t) [/mm] + [mm] F_2(\gamma(t)) \cdot \gamma_2'(t) [/mm] + [mm] F_3(\gamma(t)) \cdot \gamma_3'(t)$.
[/mm]
Hierbei ist wegen
[mm] $F_1(x) [/mm] = [mm] 2xy+e^z$ [/mm] und [mm] $\gamma'(t) [/mm] = [mm] \pmat{0 \\ - 1 \\ 1}$
[/mm]
zum Beispiel:
[mm] $F_1(\gamma(t)) \cdot \gamma_1'(t) [/mm] = (2(1-t) + [mm] e^{1+t}) \cdot [/mm] 0=0$.
Rechne so auch
[mm] $F_2(\gamma(t)) \cdot \gamma_2'(t)$
[/mm]
und
[mm] $F_3(\gamma(t)) \cdot \gamma_3'(t)$
[/mm]
aus un integriere die Summe über $[0,1]$.
Viele Grüße
Stefan
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> Hallo Patrick!
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> Die Strecke zwischen [mm]\pmat{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] und [mm]\pmat{1 \\ 0 \\2}[/mm]
> wird ja durch
>
> [mm]\gamma\, : \, \begin{array}{ccc} [0,1]& \to & \IR^3 \\[5pt] t & \mapsto & \gamma(t):= \pmat{1 \\ 1 \\ 1} + t \cdot \left[ \pmat{1 \\ 0 \\ 2} - \pmat{1 \\ 1 \\ 1} \right] \end{array} [/mm]
Woher nimmt man die [0,1] ?
> parametrisiert, und rechnet man das rechts aus, dann erhält
> man halt:
>
> [mm]\gamma(t) = \pmat{1 \\ 1 \\ 1 } + t \cdot \pmat{0 \\ - 1 \\ 1}[/mm].
>
> Nun gilt weiter:
>
> [mm]F(\gamma(t)) \* \gamma'(t) = F_1(\gamma(t)) \cdot \gamma_1'(t) + F_2(\gamma(t)) \cdot \gamma_2'(t) + F_3(\gamma(t)) \cdot \gamma_3'(t)[/mm].
>
> Hierbei ist wegen
>
> [mm]F_1(x) = 2xy+e^z[/mm] und [mm]\gamma'(t) = \pmat{0 \\ - 1 \\ 1}[/mm]
>
> zum Beispiel:
>
> [mm]F_1(\gamma(t)) \cdot \gamma_1'(t) = (2(1-t) + e^{1+t}) \cdot 0=0[/mm].
>
$ [mm] F_1(\gamma(t)) \cdot \gamma_1'(t) [/mm] = (2(1-t) + [mm] e^{1+t}) \cdot [/mm] 0=0 $ ???
Wie komme ich von der linken auf die rechte Seite???
Die 2 resultiert aus 2*(1+(t*0))
Das (1-t) kommt von 1+(t*-1)
Das [mm] e^{1+t} [/mm] kommt weil für das z dort 1+(t*1) eingesetzt wird und das das ganze mal 0 genommen wird kommt weil der x-Wert für $ [mm] \gamma'(t) [/mm] = [mm] \pmat{0 \\ - 1 \\ 1} [/mm] $ gleich NULL ist, RICHTIG ???
Aber woher nehme ich die [0,1] ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Fire21 |
Hallo Patrick
> Woher nimmt man die [0,1] ?
Es soll ja gerade die Verbindungsstrecke zwischen (1,1,1) und (1,0,2) parametrisiert werden und damit das Bild von [mm] \gamma(t), [/mm] also alle Punkte die [mm] \gamma(t) [/mm] annimmt, gerade alle Punkte dieser Strecke sind, muß der Definitionsbereich von [mm] \gamma(t) [/mm] eben gerade das Intervall [0;1] sein
> [mm]F_1(\gamma(t)) \cdot \gamma_1'(t) = (2(1-t) + e^{1+t}) \cdot 0=0[/mm]
> ???
>
> Wie komme ich von der linken auf die rechte Seite???
>
> Die 2 resultiert aus 2*(1+(t*0))
> Das (1-t) kommt von 1+(t*-1)
> Das [mm]e^{1+t}[/mm] kommt weil für das z dort 1+(t*1) eingesetzt
> wird und das das ganze mal 0 genommen wird kommt weil der
> x-Wert für [mm]\gamma'(t) = \pmat{0 \\ - 1 \\ 1}[/mm] gleich NULL
> ist, RICHTIG ???
>
Genau.
Gruß
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Ok. Wie man das jetzt rechnet ist mir klar, aber immer noch nicht wie man auf dieses Interval kommt.
Kann man das auch ausrechnen oder sieht man das etwa direkt so?
Und ist das immer so, das $ [mm] \gamma'(t) [/mm] = [mm] \pmat{0 \\ - 1 \\ 1} [/mm] $ gleich der rechte Vektor von $ [mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] \pmat{1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] + t [mm] \cdot \pmat{0 \\ - 1 \\ 1} [/mm] $ ist? Oder kann das bei anderen Aufgaben davon abweichen?
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Patrick!
Eine Strecke zwischen zwei gegebenen Punkten [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] parametrisiert man am besten immer durch
[mm] $\gamma(t) [/mm] = [mm] \vec{P_1} [/mm] + t [mm] \cdot (\vec{P_2} -\vec{P_1})$.
[/mm]
Dies ist ja offenbar ein Teil einer Gerade, also eine Strecke. Jetzt setze doch mal $t=0$ ein und $t=1$. Dann kommst du genau auf [mm] $\vec{P_1}$ [/mm] und [mm] $\vec{P_2}$. [/mm] Daher wird genau die Strecke zwischen [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] parametrisiert.
Du könntest auch andere Parametrisierungen wählen, aber diese ist die naheliegendste und einfachste. 
> Und ist das immer so, das [mm]\gamma'(t) = \pmat{0 \\ - 1 \\ 1}[/mm]
> gleich der rechte Vektor von [mm]\gamma(t) = \pmat{1 \\ 1 \\ 1 } + t \cdot \pmat{0 \\ - 1 \\ 1}[/mm]
> ist? Oder kann das bei anderen Aufgaben davon abweichen?
Leite doch mal komponentenweise nach $t$ ab.
Du hast:
[mm] $\gamma(t) [/mm] = [mm] \pmat{1+0\cdot t\\ 1+ (-1) \cdot t \\ 1 + 1 \cdot t}$.
[/mm]
Dann siehst du doch, dass die Konstanten wegfallen und die Faktoren vor dem $t$ übrigbleiben, also genau die Komponenten des zweiten (Richtungs-)Vektors.
Bei dieser Parametrisierung wird die Ableitung also immer durch den Richtungsvektor gegeben, ja.
Viele Grüße
Stefan
> Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Mo 11.07.2005 | | Autor: | Patrick_T |
Hallo.
Das mit dem Interval ist mir jetzt klar.
Und das mit dem Richtungsvektor ist mir zu meiner Schande aufgefallen, nachdem ich gepostet hatte.
Denke das ist soweit klar.
Ihr seid die Größten. Würde Euch gern mal auf ein Bier einladen, das habt ihr Euch redlich verdient mit Eurer Hilfe.
Gruß Patrick
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![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]"){kind=small}
