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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Floraldo |
| Aufgabe | Zwei Pfosten (3 und 4m hoch) werden auf ebenem Gelände eingeschlagen und mit Drähten von der Spitze des einen zum Fuß des anderen Pfostens verbunden. Die Pfosten sind 10 m voneinander entfernt.
a) In welcher Höhe schneiden sich die Drähte?
b) Ist die Entfernung der Pfosten ausschlaggebend? |
Hierbei handelt es sich um eine Ähnlichkeitsabbildung, genauer um eine zentrische Streckung mit negativen Streckungsfaktor. Die beiden Pfosten sind parallel, der Schnittpunkt der Drähte das Streckungszentrum.
Nochmal zur Verdeutlichung eine stark vereinfachte Skizze zur Aufgabe:
IxI
Ich habe alle Streckenverhältnisse notiert aber nichts ist meiner Meinung nach dabei, was mit zur Höhe h verhilft.
Wenn ich wüsste, wie der Höhenfußpunkt die Strecke 10m schneidet, könnte ich sagen 10m : 3m = Teilstrecke : h und dann nach h auflösen aber das geht ja so nicht.
Ich wäre für eine Denkhilfe sehr dankbar denn ich stehe total auf dem Schlauch. Wie komme ich nur auf die Höhe?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Flo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zwei Pfosten (3 und 4m hoch) werden auf ebenem Gelände
> eingeschlagen und mit Drähten von der Spitze des einen zum
> Fuß des anderen Pfostens verbunden. Die Pfosten sind 10 m
> voneinander entfernt.
>
> a) In welcher Höhe schneiden sich die Drähte?
> b) Ist die Entfernung der Pfosten ausschlaggebend?
> Hierbei handelt es sich um eine Ähnlichkeitsabbildung,
> genauer um eine zentrische Streckung mit negativen
> Streckungsfaktor. Die beiden Pfosten sind parallel, der
> Schnittpunkt der Drähte das Streckungszentrum.
> Ich habe alle Streckenverhältnisse notiert aber nichts ist
> meiner Meinung nach dabei, was mir zur Höhe h verhilft.
>
> Wenn ich wüsste, wie der Höhenfußpunkt die Strecke 10m
> schneidet, könnte ich sagen 10m : 3m = Teilstrecke : h und
> dann nach h auflösen aber das geht ja so nicht.
Hallo Flo,
Zeichne eine horizontale Linie durch den Kreuzungspunkt
und betrachte die Teildreiecke der ursprünglichen Dreiecke,
die dadurch erzeugt werden. Auf dem ersten Pfahl werden
dadurch z.B. Abschnitte der Längen h und (3-h) erzeugt.
Betrachte nun die entstandenen Ähnlichkeiten.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Di 17.05.2011 | | Autor: | Floraldo |
Ich habe die Höhe durch den Kreuzungspunkt der Drähte eingezeichnet und versuche es nun noch einmal:
Ich betrachte die folgenden Dreiecke Pf1-Hf-Hs und Pf1-Pf2-Ps2
Pf1 ist der Fuß des 1. Pfostens
Hf der Fußpunkt der Höhe
Hs die Spitze der Höhe
Pf2 der Fußpunkt des 2. Pfostens
Ps2 die Spitze des 2. Pfostens
dabei gilt:
Pf1Hf : HfHs = Pf1Pf2 : Pf2Ps2
Pf1Pf2 ist 10m
Pf2Ps2 ist 3m
wenn ich jetzt die Strecke vom Fußpunkt des 1. Pfostens bis zum Fußpunkt der Höhe hätte, wäre das die Antwort und ich könnte auflösen aber so ist es für mich eine Gleichung mit 2 Unbekannten.
Von der anderen Seite aus betrachtet wären es die Dreiecke Pf2-Hf-Hs und Pf2-Pf1-Ps2cund da gilt:
Pf2Hf : HfHs = Pf2Pf1 : Pf1Ps1
HfHs die gesuchte Höhe
Pf2Pf1 ist 10 m
Pf1Ps1 ist 4m
aber wieder eine zweite Unbekannte wegen der Teilstrecke.
Ich komme nicht auf die Lösung!
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> Ich habe die Höhe durch den Kreuzungspunkt der Drähte
> eingezeichnet und versuche es nun noch einmal:
>
> Ich betrachte die folgenden Dreiecke Pf1-Hf-Hs und
> Pf1-Pf2-Ps2
> Pf1 ist der Fuß des 1. Pfostens
> Hf der Fußpunkt der Höhe
> Hs die Spitze der Höhe
> Pf2 der Fußpunkt des 2. Pfostens
> Ps2 die Spitze des 2. Pfostens
>
> dabei gilt:
>
> Pf1Hf : HfHs = Pf1Pf2 : Pf2Ps2
>
> Pf1Pf2 ist 10m
> Pf2Ps2 ist 3m
>
> wenn ich jetzt die Strecke vom Fußpunkt des 1. Pfostens
> bis zum Fußpunkt der Höhe hätte, wäre das die Antwort
> und ich könnte auflösen aber so ist es für mich eine
> Gleichung mit 2 Unbekannten.
>
> Von der anderen Seite aus betrachtet wären es die Dreiecke
> Pf2-Hf-Hs und Pf2-Pf1-Ps2cund da gilt:
>
> Pf2Hf : HfHs = Pf2Pf1 : Pf1Ps1
>
> HfHs die gesuchte Höhe
> Pf2Pf1 ist 10 m
> Pf1Ps1 ist 4m
>
> aber wieder eine zweite Unbekannte wegen der Teilstrecke.
>
> Ich komme nicht auf die Lösung!
Meinen Tipp, durch den Kreuzungspunkt eine horizontale
Hilfslinie zu ziehen, hast du offenbar nicht benützt (oder
nicht verstanden).
Aber es geht auch mit deinen Dreiecken. Die Dreiecke HsPs1Pf1
und HsPf2Ps2 sind doch offensichtlich ähnlich. Welchen Wert
hat das dazu gehörige Ähnlichkeitsverhältnis ? Dieses Verhält-
nis gilt natürlich auch für die (horizontal gemessenen !) Höhen
dieser beiden Dreiecke. Diese "Höhen" werden von Hs aus
zu den beiden Pfosten oder von Hf aus zu Pf1 bzw. Pf2 ge-
messen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Di 17.05.2011 | | Autor: | Floraldo |
Nein, auf das wäre ich tatsächlich nicht gekommen aber auch wenn ich jetzt eine horizontale Linie parallel zum Boden durch die Spitze der Höhe gezeichnet habe, komme ich damit nicht weiter aber ich will es damit trotzdem versuchen:
Die Horizontale Linie schneidet den 1. Pfosten in X und den 2. in Y.
Ich bekomme zwei Dreiecke Ps1-X-Hs und Ps2-Y-Hs.
Gilt hier:
Ps1X : Ps2Y = XHs : YHs,
dann wäre ihr Verhältnis hmm, wenn ich es auf die beiden Pfosten beziehe denn das wären doch die von mit angegebenen Dreiecke, dann wäre der Streckungsfaktor k wegen den Pfostenlängen doch -0,75 und dann ist das Verhältnis doch auch für die Teilung der Strecke auf dem Boden gültig?
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> Nein, auf das wäre ich tatsächlich nicht gekommen aber
> auch wenn ich jetzt eine horizontale Linie parallel zum
> Boden durch die Spitze der Höhe gezeichnet habe, komme ich
> damit nicht weiter aber ich will es damit trotzdem
> versuchen:
>
> Die Horizontale Linie schneidet den 1. Pfosten in X und den
> 2. in Y.
>
> Ich bekomme zwei Dreiecke Ps1-X-Hs und Ps2-Y-Hs.
Diese beiden Dreiecke sind aber gar nicht ähnlich !
> Gilt hier:
>
> Ps1X : Ps2Y = XHs : YHs,
Nein.
> dann wäre ihr Verhältnis hmm, wenn ich es auf die beiden
> Pfosten beziehe denn das wären doch die von mit
> angegebenen Dreiecke, dann wäre der Streckungsfaktor k
> wegen den Pfostenlängen doch -0,75 und dann ist das
> Verhältnis doch auch für die Teilung der Strecke auf dem
> Boden gültig?
Was ich mit meinem Tipp mit der horizontalen Linie
durch den Kreuzungspunkt meinte, ist, dass man aus der
Zeichnung (wenn der erste Pfosten die Länge 3 und der
zweite die Länge 4 (ab Boden) hat, die Gleichung
[mm] $\frac{3-h}{h}\ [/mm] =\ [mm] \frac{h}{4-h}$
[/mm]
aufstellen kann, aus der sich h leicht berechnen lässt.
Da die horizontalen Abstände dabei gar nicht auftreten,
ist auch klar, dass h unabhängig von der horizontalen
Entfernung der beiden Pfosten ist.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Di 17.05.2011 | | Autor: | Floraldo |
Hm, darauf wäre ich im Leben nicht gekommen und muß zugeben, ich weiß immer noch nicht, wie man auf diese Gleichung kommt.
Wenn ich sie auflöse, erhalte ich folgendes Ergebnis:
7h = 12
h ~ 1,714
Somit wäre der Kreuzungspunkt in 1,7m Höhe.
Ist das nun eine knifflige Aufgabe oder sollte diese für jemanden kurz vorm Quali ohne Probleme zu lösen sein?
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Hallo, schöner [mm] h=\bruch{12}{7}, [/mm] ist korrekt, die Frage nach kniffligen Aufgaben ist immer relativ, es ist eine "normale" Aufgabe für den Quali, das Problem ist sicherlich nicht die eigentliche Rechnung, sondern das Erkennen, ähnlicher Dreiecke, mache dir immer relativ genaue Skizzen, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Di 17.05.2011 | | Autor: | Floraldo |
Vielen Dank an Euch beide!
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