Stochastisches Integral < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:47 Fr 11.03.2005 | | Autor: | NY152 |
Hallo allerseits,
ich habe eine Frage bzgl. der Implemetierung eines Stochastisches Integrals.
Folgenden Ausdruck möchte ich gerne in VBA implementieren, welches aber ein stochastisches Integral enthält:
[mm] r_t = r_0*e^{-\kappa*t} + ( 1-e^{-\kappa*t})*\Phi + \sigma*e^{-\kappa*t}\int_0^t e^{\kappa u} dW_u [/mm]
Alle nötigen Parameter sind bekannt. Mir geht es in erster Linie darum, wie man im allgemeinen einen Stochastischen Integral (numerisch) implementiert.
Danke im Voraus.
Viele Grüße
Murat
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Fr 11.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Dies implementiert man numerisch, dass man ein stochastisches Integral pfadweise als Riemann-Stieltjes-Integral auffasst (was natürlich mathematisch falsch ist, aber numerisch effektiv).
Dementsprechend wird [mm] $\int_0^t a(s)\, [/mm] ds + [mm] \int_0^t b(s)\, dW_s$ [/mm] durch die folgende Rekursion angenähert
[mm] $x_{j+1} [/mm] = [mm] x_j [/mm] + [mm] a(t_j) \Delta [/mm] t + [mm] b(t_j) [/mm] Z [mm] \sqrt{\Delta t}$,
[/mm]
wobei $Z$ standardnormalverteilt ist (da musst du also stochastisch simulieren, also standardnormalverteilte Zufallszahlen einsetzen).
(Klar: Die Zuwächste [mm] $W_{t+\Delta t} [/mm] - [mm] W_t$ [/mm] sind ja gerade [mm] ${\cal N}(0,\sqrt{\Delta t})$ [/mm] verteilt. Das nutzt man hier aus.)
Damit bekommst du dann eine Realisierung deines stochastischen Integrals (was ja eine Zufallsvariable ist).
Genaueres findest du zum Beispiel in
Seydel: Einführung in die numerische Berechnung von Finanz-Derivaten, Springer-Verlag
oder auch
Kloeden, Platen: Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Springer-Verlag.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 Di 22.03.2005 | | Autor: | NY152 |
Hallo Stefan,
vielen Dank für deine Antwort.
> Dies implementiert man numerisch, dass man ein
> stochastisches Integral pfadweise als
> Riemann-Stieltjes-Integral auffasst (was natürlich
> mathematisch falsch ist, aber numerisch effektiv).
klar !
> Dementsprechend wird [mm]\int_0^t a(s)\, ds + \int_0^t b(s)\, dW_s[/mm]
> durch die folgende Rekursion angenähert
>
> [mm]x_{j+1} = x_j + a(t_j) \Delta t + b(t_j) Z \sqrt{\Delta t}[/mm],
unklar ? Wie sieht dies denn in meinem Fall aus ?
Also, $ [mm] r_t [/mm] = ... [mm] +\sigma\cdot{}e^{-\kappa\cdot{}t}\int_0^t e^{\kappa u} dW_u [/mm] $
Leiter habe ich dies nicht verstanden.
> wobei [mm]Z[/mm] standardnormalverteilt ist (da musst du also
> stochastisch simulieren, also standardnormalverteilte
> Zufallszahlen einsetzen).
klar! (Die Zufallszahlen werde ich mit der BoxMuller Methode erzeugen.)
> (Klar: Die Zuwächste [mm]W_{t+\Delta t} - W_t[/mm] sind ja gerade
> [mm]{\cal N}(0,\sqrt{\Delta t})[/mm] verteilt. Das nutzt man hier
> aus.)
>
> Damit bekommst du dann eine Realisierung deines
> stochastischen Integrals (was ja eine Zufallsvariable
> ist).
>
> Genaueres findest du zum Beispiel in
>
> Seydel: Einführung in die numerische Berechnung von
> Finanz-Derivaten, Springer-Verlag
(ist schwer zu bekommen)
>
> oder auch
>
> Kloeden, Platen: Numerical Solution of Stochastic
> Differential Equations, Springer-Verlag.
>
> Liebe Grüße
> Stefan
>
>
Viele Grüße
Murat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:23 Sa 26.03.2005 | | Autor: | NY152 |
Hallo Stefan,
hab eine kurze Frage, ob ich dich richtig verstanden habe. Hast du bei deiner Antwort gemeint, daß man die SDE mit dem Euler - Algortihmus Implementiert bzw. löst ? Dies wendet man doch dann an, wenn man die SDE nicht analytisch lösen kann, oder ? Bei mir bekomme ich für das Vasicek - Modell eine analytische Lösung für [mm] $r_t$ [/mm] heraus. Die folgende SDE beschreibt das Modell von Vasicek:
[mm] $dr_t [/mm] = (b - a [mm] \cdot r_t) \cdot [/mm] dt + [mm] \sigma \cdot dW_t$
[/mm]
Die analytische Lösung für [mm] $r_t$ [/mm] laut nun:
[mm] $r_t [/mm] = [mm] r_0 \cdot e^{-a \cdot t} [/mm] + [mm] \frac{b}{a} \cdot [/mm] (1 - [mm] e^{-a \cdot t}) [/mm] + [mm] \sigma \cdot e^{-a \cdot t} \integral_0^t e^{a \cdot u} dW_u$
[/mm]
Mir geht es darum, wie ich den letzten Teil des Terms implementieren kann ?
> Dementsprechend wird [mm]\int_0^t a(s)\, ds + \int_0^t b(s)\, dW_s[/mm]
> durch die folgende Rekursion angenähert
>
> [mm]x_{j+1} = x_j + a(t_j) \Delta t + b(t_j) Z \sqrt{\Delta t}[/mm],
>
> wobei [mm]Z[/mm] standardnormalverteilt ist (da musst du also
> stochastisch simulieren, also standardnormalverteilte
> Zufallszahlen einsetzen).
>
> (Klar: Die Zuwächste [mm]W_{t+\Delta t} - W_t[/mm] sind ja gerade
> [mm]{\cal N}(0,\sqrt{\Delta t})[/mm] verteilt. Das nutzt man hier
> aus.)
>
> Damit bekommst du dann eine Realisierung deines
> stochastischen Integrals (was ja eine Zufallsvariable
> ist).
>
> Genaueres findest du zum Beispiel in
>
> Seydel: Einführung in die numerische Berechnung von
> Finanz-Derivaten, Springer-Verlag
(hab es nun bekommen)
>
> oder auch
>
> Kloeden, Platen: Numerical Solution of Stochastic
> Differential Equations, Springer-Verlag.
>
> Liebe Grüße
> Stefan
>
>
>
Viele Grüße
Murat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Murat!
Ja, ich kenne das Vasicek-Modell sehr gut und weiß, dass es eine analytische Lösung gibt. Dennoch simuliert man die Zufallsvariable wie von mir beschrieben, also so:
[mm]\int_0^t b(s)\, dW_s[/mm]
wird implementiert durch
[mm]x_0=0[/mm]
[mm]x_{j+1} = x_j + b(t_j) Z \sqrt{\Delta t}[/mm] [mm] ($j=0,1,\ldots,N-1$),
[/mm]
[mm]x_N = \mbox{Näherungslösung für das stochastische Integral}[/mm],
wobei du $b$ in deinem Modell dann entsprechend ablesen musst. Dies meinte ich mit "pfadweises Auffassen als Riemann-Stieltjes-Integral".
Du diskretisiert also die Zeitachse und nutzt aus, dass die Zuwächse des Wiener-Prozesses normalverteilt sind.
Wenn du den Wiener-Prozess selbst implementierst, dann machst du es ja genauso, dass du die Zeitachse diskretisierst und normalverteilte Zufallszahlen einsetzt. Hier geht es eben fast genauso, nur dass man den Integranden (ausgewertet an einer Stelle) noch mitschleppen muss.
Viele Grüße
Stefan
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