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Hallo!
Ich schreibe am Samstag eine Klausur, in der wir evtl. den Binomialkoeffizienten beweisen sollen. Dazu habe ich Übungsaufgaben, weiß jedoch nicht genau, wie es funktionieren soll. Kann mir bitte jemand helfen?
Folgende Eigenschaften sollen bewiesen werden:
a) [mm] \vektor{n \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ n} [/mm] = 1
Ich weiß nur, dass n über 0 und n über n gleich 1 ist, jedoch nicht, wie man es beweisen soll...
b) [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k+1} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
mit 0 [mm] \le [/mm] k < n; k, n [mm] \in \IN
[/mm]
c) [mm] \vektor{n \\ n-k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k}
[/mm]
d) [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] 2^n
[/mm]
e) [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} *(-1)^k [/mm] = 0
Ich weiß zwar einigermaßen, was die einzelnen Koeffizienten meinen, aber leider nicht, wie man sie beweisen soll. Wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke, lg Kristina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kristina!
Die ersten drei Aufgaben kann man allesamt lösen, indem man über die Definition des Binomialkoeffizienten geht:
[mm] $\vektor{n \\ k} [/mm] \ := \ [mm] \bruch{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)}{1*2*3*..*k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n!}{k! * (n-k)!}$
[/mm]
Zusätzlich sollte man wissen: $0! \ := \ 1$
Mehr braucht man nicht ...
Rechnen wir mal eine Teilaufgabe von a.)
[mm] $\vektor{n \\ 0} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n!}{0! * (n-0)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n!}{1 * n!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1*1} [/mm] \ = \ 1$
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Do 10.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kristina!
> d) [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]2^n
[/mm]
Probiere es mal über den Ansatz:
[mm] $2^n=(1+1)^n$ [/mm] und wende dann den  binomischen Lehrsatz an!
> e) [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} *(-1)^k[/mm] = 0
(Bemerkung: Ich nehme an (wegen [mm] $0^0:=1$, [/mm] siehe Tipp unten), dass hier $n [mm] \in \IN=\{1,\;2,\;3,\;\ldots\}$ [/mm] gefordert wird!
Ferner gilt ja für $n=0$:
[m]\sum_{k=0}^0 {0 \choose k}*(-1)^k={0 \choose 0}*(-1)^0=1\not=0[/m].)
Wieder mittels des binomischen Lehrsatzes:
[mm] $0=0^n=(1+(-1))^n=\ldots$
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:25 Do 10.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Ergänzung:
Den binomischen Lehrsatz kann man mit deiner Teilaufgabe b) über vollständige Induktion beweisen, siehe etwa hier [mm] ($\leftarrow$ click it!).
Bestimmt/Vermutlich kann man d) und e) auch direkt über Induktion zeigen...
Viele Grüße,
Marcel
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Do 10.03.2005 | | Autor: | KristinaW |
Vielen Dank für euere Hilfe.
Jetzt klappts bestimmt auch mit der Klausur...
lg Kristina
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