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Hi Leute,
wie ihr ja wahrscheinlich mittlerweile mitbekommen habt, hab ich so meine Probleme mit Stochastik... Deswegen wuerd ich euch auch diese Woche gern mal wieder um eure Hilfe bitten. Vielleicht kapier ichs ja irgendwann, aber die Wahrscheinlichkeit dafuer liegt irgendwo ziemlich weit im Keller ;)
Also waer nett, wenn ihr mir mal wieder nen paar Tipps geben koenntet.
Danke schon mal im voraus
Eure Micha
Aufgabe:
Es sei X eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( Omega, F, P ). Beweisen sie, dass die Verteilungsfunktion V von X die folgenden Eigenschaften besitzt:
a) V ist monoton wachsend und rechtsseitig stetig.
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] V(x) = 1 und Limes von x gegen [mm] -\infty [/mm] fuer V(x)= 0.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Micha!
Du musst dich nur an die Definitionen und an die Eigenschaften eines Maßes halten.
Es gilt:
$V(x) = P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(\{ \omega\in \Omega\, :\, X(\omega) \le x\}$.
[/mm]
Warum ist nun $V$ monoton?
Für $0 [mm] \le x\le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1$ folgt aus [mm] $X(\omega) \le [/mm] x$ natürlich erst recht: [mm] $X(\omega) \le [/mm] y$, d.h. es gilt:
$ [mm] \{\omega\in \Omega\, :\, X(\omega) \le x\} \subset \{\omega\in \Omega\, :\, X(\omega) \le y\}$.
[/mm]
Da $P$ monoton ist, folgt daraus:
$V(x) = P( [mm] \{\omega\in \Omega\, :\, X(\omega) \le x\} [/mm] ) [mm] \le [/mm] P [mm] (\{\omega\in \Omega\, :\, X(\omega) \le y\}) [/mm] = V(y)$,
also die Monotonie.
Warum ist $V$ rechtsseitig stetig?
Es sei [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine (ObDA monoton fallende) Folge reeller Zahlen aus $[0,1]$, die von oben gegen ein $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ konvergiert. Dann gilt:
[mm] $]-\infty,x_n] \supset ]-\infty,x_m]$ [/mm] für [mm] $n\le [/mm] m$,
und
[mm] $\bigcap_{n \in \IN} ]-\infty,x_n] [/mm] = [mm] ]-\infty,x]$,
[/mm]
also auch:
[mm] $\bigcap_{n \in \IN} \{\omega \in \Omega\, : \, X(\omega) \le x_n\} [/mm] = [mm] \{\omega \in \Omega\, :\, X(\omega) \le x\}$.
[/mm]
Da das W-Maß $P$ aber oben oben stetig ist, folgt daraus:
$P [mm] \left( \{\omega \in \Omega\, :\, X(\omega) \le x\} \right) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} [/mm] P [mm] \left( \bigcap_{n \in \IN} \{\omega \in \Omega\, : \, X(\omega) \le x_n\} \right)$,
[/mm]
also:
$V(x) = [mm] \lim\limits_{n \to \infty}V(X_n)$,
[/mm]
womit auch die rechtsseitige Stetigkeit von $V$ bewiesen wäre.
Versuche jetzt bitte mal die beiden noch fehlenden Behauptungen nach dem gleichen Schema zu lösen. Melde dich bitte entweder mit Fragen zu den obigen Ausführungen oder aber mit eigenen Ideen zu den noch fehlenden Teilaufgaben wieder.
Liebe Grüße
Stefan
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