Stichprobe, Genauigkeit < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Der Anteil der kaputten Flaschen bei einer Produktion soll geschätzt werden dazu wurde eine Stichprobe vom Umfang n = 50000 genommen. Welche Genauigkeit lässt sich erreichen, wenn eine 95 % Sicherheit garantiert werden soll? |
Ich weiß gar nicht wie ich hier ansetzen soll....
Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Moin Steffen,
> Ich weiß gar nicht wie ich hier ansetzen soll....
da steckt eine Menge an Grundlagenwissen drin, das du eigentlich haben solltest wenn dir solche Aufgaben gestellt werden. Ich poste dir mal einen netten Essay darüber, was man auf jedenfalls wissen sollte, um mit diesen statistischen Tools umgehen zu können. Wenn man noch nie von einem Konfidenzintervall, Parameterschätzer oder Erwartungswert gehört hat, wirds schwer dir das alles zu erklären... schau dir bitte erstmal ![[]](/images/popup.gif) dies an. Deine weiteren Fragen beantworten wir dann gern.
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:32 Di 06.01.2009 | | Autor: | steffen0815 |
Also mir ist schon klar was ein Erwartungswert ist oder was Varianz oder Standardabweichung bedeutet.... weiß halt nur nicht wie ich bei der Art Aufgabenstellung vorgehen muss....
Weil über Erwartungswert oder dergleich ist mir ja nichts bekannt....
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> Der Anteil der kaputten Flaschen bei einer Produktion soll
> geschätzt werden dazu wurde eine Stichprobe vom Umfang n =
> 50000 genommen. Welche Genauigkeit lässt sich erreichen,
> wenn eine 95 % Sicherheit garantiert werden soll?
Hallo Steffen,
mir scheint auch, dass diese Aufgabenstellung
sich nicht gerade durch Genauigkeit auszeichnet ...
Es bleibt einem also wohl nichts anderes, als
zuerst einmal die Fragestellung zu präzisieren.
Da $\ n=50000$ doch sehr gross ist, darf man wohl
die zugrundeliegende Binomialverteilung durch
eine Normalverteilung ersetzen. Für kleine $\ p$,
also wenn sehr wenig Bruchmaterial vorliegt,
wird diese Annahme aber noch zu überprüfen
sein.
$\ p$ sei der "wahre" Anteil kaputter Flaschen.
Aus dem Ergebnis der Stichprobe geht ein
Schätzwert [mm] $\overline{p}$ [/mm] für $\ p$ hervor, nämlich
[mm] $\overline{p}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{Anzahl\ kaputte\ Flaschen}{50000}$
[/mm]
Als Mass für die Genauigkeit kann man nun
[mm] $\Delta{p}=|p-\overline{p}|$ [/mm]
(kleines [mm] \Delta{p} [/mm] bedeutet grosse Genauigkeit)
nehmen. Sollte der Autor der Aufgabe sich dies
anders vorgestellt und z.B. eine relative Genauig-
keit gemeint haben, so ist das sein Problem.
Mit der Normalverteilung kann man nun für [mm] \Delta{p}
[/mm]
eine Formel angeben:
[mm] $\Delta{p}=1.96*\sigma/n$
[/mm]
(es ist [mm] \Phi(1.96)-\Phi(-1.96)=0.975-0.025=0.95)
[/mm]
Für [mm] \sigma [/mm] gilt die Formel [mm] $\sigma\ [/mm] =\ [mm] \wurzel{n*p*q}$
[/mm]
Das kann man auf zwei Arten nach oben abschätzen:
1.) Wegen $\ q<1$ gilt
[mm] $\sigma=\wurzel{n*p*q}\ [/mm] <\ [mm] \wurzel{n*p}$
[/mm]
2.) Wegen $\ q=1-p$ ist $\ [mm] p*q\le \bruch{1}{4}$ [/mm] und also
[mm] $\sigma=\wurzel{n*p*q}\ \le\ \wurzel{\bruch{n}{4}}$
[/mm]
Damit erhalten wir die Ungleichungen:
1.) [mm] $\Delta{p}\ [/mm] =\ [mm] 1.96*\sigma/n<1.96*\bruch{\wurzel{n*p}}{n}\ [/mm] =\ [mm] 1.96*\wurzel{\bruch{p}{n}}$
[/mm]
2.) [mm] $\Delta{p}\ [/mm] =\ [mm] 1.96*\sigma/n\ \le\ 1.96*\bruch{\wurzel{\bruch{n}{4}}}{n}\ [/mm] =\ [mm] 0.98*\bruch{1}{\wurzel{n}}$
[/mm]
Die zweite Ungleichung ergibt eine von $\ p$ unab-
hängige Schätzung des maximalen Fehlers in $\ p$:
[mm] $\Delta{p}\le \bruch{0.98}{\wurzel{50000}}\approx\ [/mm] 0.0044\ =\ 0.44 $%
Für kleine Werte von $\ p$ (was bei diesem Beispiel
mit dem Glasbruch eigentlich zu erwarten wäre)
ergibt die erste Ungleichung noch eine kleinere
(geschätzte) Fehlerschranke.
Al-Chwarizmi
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