Stetigkeitsstellen bestimmen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR,
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2-1, & x \not\in \IQ \\ 0, & x \in \IQ \end{cases}
[/mm]
Finden Sie alle Punkte, wo f stetig ist. |
Hallo zusammen,
zu obiger Aufgabe ist meine Idee, dass die Funktion nur dort stetig sein kann, wo sich die Graphen der Funktionen g(x) = [mm] x^2-1 [/mm] und h(x)=0 schneiden, also an 1 und -1, wenn diese nicht Element der rationalen Zahlen wären. Nun sind sie das aber, wir wissen jedoch (aber noch nicht nach Vorlesung), dass in jeder beliebigen Umgebung der irrationalen Zahlen auch rationale Zahlen liegen, also ist f(x) an 1 und -1 stetig.
In jedem anderen Punkt [mm] x_0 [/mm] ist [mm] g(x_0)\not=h(x_0) [/mm] und es gibt Folgen [mm] a_n \to x_0, b_n \to x_0, g(a_n) \to x^2-1 [/mm] und [mm] h(b_n) \to [/mm] 0, deshalb ist f(x) dort nicht stetig.
Fragen: Stimmt das was ich sage und falls ja, geht das besser formuliert schon als Beweis durch?
Wir hatten in der Vorlesung das Folgenstetigkeitskriterium, das Epsilon-Delta-Kriterium und das "Potenzreihen-Konvergenzradius"-Kriterium, aber ich weiß nicht, ob man davon hier gut was anwenden kann. Außerdem frage ich mich, ob man die Aufgabe ohne Kenntnis der Dichtheit von [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IR [/mm] lösen könnte.
Einen schönen Sonntagabend wünsche ich euch!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 So 25.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
> Sei f: [mm]\IR \to \IR,[/mm]
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^2-1, & x \not\in \IQ \\ 0, & x \in \IQ \end{cases}[/mm]
>
> Finden Sie alle Punkte, wo f stetig ist.
> Hallo zusammen,
>
> zu obiger Aufgabe ist meine Idee, dass die Funktion nur
> dort stetig sein kann, wo sich die Graphen der Funktionen
> g(x) = [mm]x^2-1[/mm] und h(x)=0 schneiden, also an 1 und -1, wenn
> diese nicht Element der rationalen Zahlen wären.
Die Idee ist schon mal sehr gut! Aber die Einschränkung, "wenn diese nicht Element der rationalen Zahlen wären" verstehe ich hier nicht!
> Nun sind
> sie das aber, wir wissen jedoch (aber noch nicht nach
> Vorlesung), dass in jeder beliebigen Umgebung der
> irrationalen Zahlen auch rationale Zahlen liegen, also ist
> f(x) an 1 und -1 stetig.
Dürft ihr verwenden, daß [mm] $g(x)=x^2-1$ [/mm] stetig ist? Dann gibt es zu [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta> [/mm] 0$, so daß $|g(x) - g(1)| < [mm] \epsilon$ [/mm] für jedes $x$ mit $|x-1| < [mm] \delta\,.$
[/mm]
Damit gilt auch [mm] $|f(x)-f(1)|<\epsilon$ [/mm] für dieselben $x$, egal ob [mm] $x\in \IQ$ [/mm] oder nicht.
> In jedem anderen Punkt [mm]x_0[/mm] ist [mm]g(x_0)\not=h(x_0)[/mm] und es
> gibt Folgen [mm]a_n \to x_0, b_n \to x_0, g(a_n) \to x^2-1[/mm] und
> [mm]h(b_n) \to[/mm] 0, deshalb ist f(x) dort nicht stetig.
>
> Fragen: Stimmt das was ich sage und falls ja, geht das
> besser formuliert schon als Beweis durch?
Ja! Mit meiner "Verfeinerung" schon.
> Wir hatten in der Vorlesung das
> Folgenstetigkeitskriterium, das Epsilon-Delta-Kriterium und
> das "Potenzreihen-Konvergenzradius"-Kriterium, aber ich
> weiß nicht, ob man davon hier gut was anwenden kann.
> Außerdem frage ich mich, ob man die Aufgabe ohne Kenntnis
> der Dichtheit von [mm]\IQ[/mm] in [mm]\IR[/mm] lösen könnte.
Um die Stetigkeit in [mm] $\plusminus [/mm] 1$ zu zeigen, braucht man kein Dichtheitsargument.
Um die Unstetigkeit in den anderen Punkten zu zeigen, dagegen schon, denn da benutzt Du Folgen [mm] $a_n\to x_0$, $a_n$ [/mm] rational und [mm] $b_n\to x_0$, $b_n$ [/mm] irrational. Für die Existenz dieser Folgen ist notwendig, daß jede reelle Zahl Häufungspunkt sowohl der irrationalen als auch der rationalen Zahlen ist. Und dies ist eine stärkere Aussage, als die bloße Dichtheit von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR\,.$ [/mm] Von vielen Dozenten und Korrektoren wird diese Häufungspunkteigenschaft erstaunlicherweise als anschaulich klar stillschweigend angenommen.
Grüße,
Wolfgang
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Hallo Wolfgang,
vielen Dank für deine Antwort!
> > zu obiger Aufgabe ist meine Idee, dass die Funktion nur
> > dort stetig sein kann, wo sich die Graphen der Funktionen
> > g(x) = [mm]x^2-1[/mm] und h(x)=0 schneiden, also an 1 und -1, wenn
> > diese nicht Element der rationalen Zahlen wären.
>
> Die Idee ist schon mal sehr gut! Aber die Einschränkung,
> "wenn diese nicht Element der rationalen Zahlen wären"
> verstehe ich hier nicht!
Mein Gedanke war, dass g(x) in [mm] x_0=-1 [/mm] und [mm] x_1=1 [/mm] nicht definiert ist, da 1 und -1 in [mm] \IQ [/mm] liegen, man deshalb also sagen muss, dass aber bei einem x beliebig nahe an [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] g(x) definiert ist.
> > Nun sind
> > sie das aber, wir wissen jedoch (aber noch nicht nach
> > Vorlesung), dass in jeder beliebigen Umgebung der
> > irrationalen Zahlen auch rationale Zahlen liegen, also ist
> > f(x) an 1 und -1 stetig.
>
> Dürft ihr verwenden, daß [mm]g(x)=x^2-1[/mm] stetig ist? Dann gibt
> es zu [mm]\epsilon > 0[/mm] ein [mm]\delta> 0[/mm], so daß [mm]|g(x) - g(1)| < \epsilon[/mm]
> für jedes [mm]x[/mm] mit [mm]|x-1| < \delta\,.[/mm]
>
> Damit gilt auch [mm]|f(x)-f(1)|<\epsilon[/mm] für dieselben [mm]x[/mm], egal
> ob [mm]x\in \IQ[/mm] oder nicht.
Also bewiesen wurde die Stetigkeit von [mm] x^2-1 [/mm] in der Vorlesung noch nicht. Das einzige Beispiel war bisher die Stetigkeit von f(x) = [mm] \wurzel(x). [/mm] Möglicherweise kommen in der Vorlesung morgen aber noch mehr Beispiele oder Sätze zur Stetigkeit von Funktionen. Würdest du sonst den Beweis der Stetigkeit von [mm] x^2-1 [/mm] in die Aufgabenlösung aufnehmen oder gleich einen anderen Weg, weil das zu schwierig ist?
>
> Um die Stetigkeit in [mm]\plusminus 1[/mm] zu zeigen, braucht man
> kein Dichtheitsargument.
>
> Um die Unstetigkeit in den anderen Punkten zu zeigen,
> dagegen schon, denn da benutzt Du Folgen [mm]a_n\to x_0[/mm], [mm]a_n[/mm]
> rational und [mm]b_n\to x_0[/mm], [mm]b_n[/mm] irrational. Für die Existenz
> dieser Folgen ist notwendig, daß jede reelle Zahl
> Häufungspunkt sowohl der irrationalen als auch der
> rationalen Zahlen ist. Und dies ist eine stärkere Aussage,
> als die bloße Dichtheit von [mm]\IQ[/mm] in [mm]\IR\,.[/mm] Von vielen
> Dozenten und Korrektoren wird diese
> Häufungspunkteigenschaft erstaunlicherweise als
> anschaulich klar stillschweigend angenommen.
>
Ah, Danke für die Erklärung!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 So 25.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Wolfgang,
>
> vielen Dank für deine Antwort!
>
> > > zu obiger Aufgabe ist meine Idee, dass die Funktion nur
> > > dort stetig sein kann, wo sich die Graphen der Funktionen
> > > g(x) = [mm]x^2-1[/mm] und h(x)=0 schneiden, also an 1 und -1, wenn
> > > diese nicht Element der rationalen Zahlen wären.
> >
> > Die Idee ist schon mal sehr gut! Aber die Einschränkung,
> > "wenn diese nicht Element der rationalen Zahlen wären"
> > verstehe ich hier nicht!
>
> Mein Gedanke war, dass g(x) in [mm]x_0=-1[/mm] und [mm]x_1=1[/mm] nicht
> definiert ist, da 1 und -1 in [mm]\IQ[/mm] liegen, man deshalb also
> sagen muss, dass aber bei einem x beliebig nahe an [mm]x_0[/mm] und
> [mm]x_1[/mm] g(x) definiert ist.
Wenn Deine Funktionen nur auf [mm] $\IQ$ [/mm] bzw. auf [mm] $\IR\setminus\IQ$ [/mm] definiert sind, schneiden sich ihre Graphen ja nicht. Definiere doch beide Funktionen auf ganz [mm] $\IR$.
[/mm]
>
> > > Nun sind
> > > sie das aber, wir wissen jedoch (aber noch nicht nach
> > > Vorlesung), dass in jeder beliebigen Umgebung der
> > > irrationalen Zahlen auch rationale Zahlen liegen, also ist
> > > f(x) an 1 und -1 stetig.
> >
> > Dürft ihr verwenden, daß [mm]g(x)=x^2-1[/mm] stetig ist? Dann gibt
> > es zu [mm]\epsilon > 0[/mm] ein [mm]\delta> 0[/mm], so daß [mm]|g(x) - g(1)| < \epsilon[/mm]
> > für jedes [mm]x[/mm] mit [mm]|x-1| < \delta\,.[/mm]
> >
> > Damit gilt auch [mm]|f(x)-f(1)|<\epsilon[/mm] für dieselben [mm]x[/mm], egal
> > ob [mm]x\in \IQ[/mm] oder nicht.
>
> Also bewiesen wurde die Stetigkeit von [mm]x^2-1[/mm] in der
> Vorlesung noch nicht. Das einzige Beispiel war bisher die
> Stetigkeit von f(x) = [mm]\wurzel(x).[/mm] Möglicherweise kommen in
> der Vorlesung morgen aber noch mehr Beispiele oder Sätze
> zur Stetigkeit von Funktionen. Würdest du sonst den Beweis
> der Stetigkeit von [mm]x^2-1[/mm] in die Aufgabenlösung aufnehmen
> oder gleich einen anderen Weg, weil das zu schwierig ist?
Ohne die Stetigkeit von $g$ in den Nullstellen geht's nicht. Zumindest die müßtest Du dann nachweisen. Aber Ihr werdet sicher bald lernen, daß Summen und Produkte stetiger Funktionen wieder stetig sind, daß konstante Funktionen und die Identität auf [mm] $\IR$ [/mm] stetig sind und damit ist auch unsere Funktion stetig, ja sogar alle Polynome.
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> > Um die Stetigkeit in [mm]\plusminus 1[/mm] zu zeigen, braucht man
> > kein Dichtheitsargument.
> >
> > Um die Unstetigkeit in den anderen Punkten zu zeigen,
> > dagegen schon, denn da benutzt Du Folgen [mm]a_n\to x_0[/mm], [mm]a_n[/mm]
> > rational und [mm]b_n\to x_0[/mm], [mm]b_n[/mm] irrational. Für die Existenz
> > dieser Folgen ist notwendig, daß jede reelle Zahl
> > Häufungspunkt sowohl der irrationalen als auch der
> > rationalen Zahlen ist. Und dies ist eine stärkere Aussage,
> > als die bloße Dichtheit von [mm]\IQ[/mm] in [mm]\IR\,.[/mm] Von vielen
> > Dozenten und Korrektoren wird diese
> > Häufungspunkteigenschaft erstaunlicherweise als
> > anschaulich klar stillschweigend angenommen.
> >
>
> Ah, Danke für die Erklärung!
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Dankeschön!
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> Ohne die Stetigkeit von [mm]g[/mm] in den Nullstellen geht's nicht.
> Zumindest die müßtest Du dann nachweisen. Aber Ihr werdet
> sicher bald lernen, daß Summen und Produkte stetiger
> Funktionen wieder stetig sind, daß konstante Funktionen
> und die Identität auf [mm]\IR[/mm] stetig sind und damit ist auch
> unsere Funktion stetig, ja sogar alle Polynome.
>
>
Sorry, ich hatte ganz vergessen, dass wir den Satz über Summe/Produkte schon hatten. Dass -1 stetig ist, ist klar. Die Stetigkeit von [mm] x^2 [/mm] haben wir noch nicht bewiesen, nur, dass [mm] \wurzel{x} [/mm] stetig ist. Ich denke wenn ich davon umgehe dass die Umkehrfunktion einer stetigen Funktion wiederum stetig ist, wird man mir das wohl nicht ankreiden?
Dann jetzt ein neuer Versuch mit deinen Verbesserungen:
Sei g(x) = [mm] x^2 [/mm] - 1 sowie h(x) = 0. h(x) ist stetig, da konstante Funktionen auf dem gesamten Definitionsbereich stetig sind. g(x) ist als Differenz der stetigen Funktionen [mm] k(x)=x^2 [/mm] und l(x) = -1 wiederum stetig (s. Vorlesung).
Die Schnittpunkte beider Funktionen liegen bei [mm] s_0 [/mm] = -1 sowie [mm] s_1 [/mm] = 1. In [mm] s_1 [/mm] gilt [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 so dass gilt |g(x) - g(1) < [mm] \varepsilon \forall [/mm] x mit |x - 1| < [mm] \delta [/mm] (Dichtheit der irrationalen Zahlen in [mm] \IR). [/mm] Analog für [mm] s_1. [/mm] Ebenso gilt folglich |f(x) - f(1)| < [mm] \varepsilon [/mm] für dieselben x. Also ist f(x) in [mm] s_0 [/mm] und [mm] s_1 [/mm] stetig.
In jedem anderen Punkt [mm]x_0[/mm] ist [mm]g(x_0)\not=h(x_0)[/mm] und es gibt Folgen [mm]a_n \to x_0, b_n \to x_0, g(a_n) \to x^2-1[/mm] und [mm]h(b_n) \to[/mm] 0, deshalb ist f(x) dort nicht stetig.
Ist das ok? Irgendwie kommt mir das noch etwas schwammig vor.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Dankeschön!
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> > Ohne die Stetigkeit von [mm]g[/mm] in den Nullstellen geht's nicht.
> > Zumindest die müßtest Du dann nachweisen. Aber Ihr werdet
> > sicher bald lernen, daß Summen und Produkte stetiger
> > Funktionen wieder stetig sind, daß konstante Funktionen
> > und die Identität auf [mm]\IR[/mm] stetig sind und damit ist auch
> > unsere Funktion stetig, ja sogar alle Polynome.
> >
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> Sorry, ich hatte ganz vergessen, dass wir den Satz über
> Summe/Produkte schon hatten. Dass -1 stetig ist, ist klar.
> Die Stetigkeit von [mm]x^2[/mm] haben wir noch nicht bewiesen, nur,
> dass [mm]\wurzel{x}[/mm] stetig ist. Ich denke wenn ich davon umgehe
> dass die Umkehrfunktion einer stetigen Funktion wiederum
> stetig ist, wird man mir das wohl nicht ankreiden?
Das wird man Dir ankreiden, denn es gibt stetige bijektive Funktionen, deren Umkehrfunktionen nicht stetig sind.
Aber wenn [mm] $x\mapsto [/mm] x$ stetig ist, dann ist auch [mm] $x\mapsto x^2$ [/mm] als Produkt einer stetigen Funktion mit sich selbst stetig.
>
> Dann jetzt ein neuer Versuch mit deinen Verbesserungen:
> Sei g(x) = [mm]x^2[/mm] - 1 sowie h(x) = 0. h(x) ist stetig, da
> konstante Funktionen auf dem gesamten Definitionsbereich
> stetig sind. g(x) ist als Differenz der stetigen Funktionen
> [mm]k(x)=x^2[/mm] und l(x) = -1 wiederum stetig (s. Vorlesung).
>
> Die Schnittpunkte beider Funktionen liegen bei [mm]s_0[/mm] = -1
> sowie [mm]s_1[/mm] = 1. In [mm]s_1[/mm] gilt [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm]
> > 0 so dass gilt |g(x) - g(1) < [mm]\varepsilon \forall[/mm] x mit |x
> - 1| < [mm]\delta[/mm] (Dichtheit der irrationalen Zahlen in [mm]\IR).[/mm]
Die Dichtheit der irrationalen Zahlen braucht man hier nicht. Ich verstehe, daß der Definitionsbereich von $g$ und $h$ ganz [mm] $\IR$ [/mm] ist.
> Analog für [mm]s_1.[/mm] Ebenso gilt folglich |f(x) - f(1)| <
> [mm]\varepsilon[/mm] für dieselben x. Also ist f(x) in [mm]s_0[/mm] und [mm]s_1[/mm]
> stetig.
Etwas klarer vielleicht: Für [mm] $x\in\IQ$ [/mm] ist $f(x)=g(x)$ und für [mm] $x\in\IR\setminus\IQ$ [/mm] ist $f(x)= h(x)=0$ (Oder umgekehrt??)
Zu [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es ein [mm] $\delta>0$, [/mm] so daß wir
[mm] $|x-1|<\delta \Rightarrow [/mm] |g(x) - [mm] g(1)|<\epsilon$
[/mm]
haben.
Für $|x-1| < [mm] \delta [/mm] $ und [mm] $x\in \IQ$ [/mm] haben wir daher $|f(x)-f(1)|= |g(x)-g(1)| < [mm] \epsilon$ [/mm] und für [mm] $x\in \IR\setminus \IQ$ [/mm] haben wir $|f(x)-f(1)| = |h(x)-0| = 0 < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
Ebenso am Punkt $-1$, also ist $f$ in [mm] $\pm [/mm] 1$ stetig.
>
> In jedem anderen Punkt [mm]x_0[/mm] ist [mm]g(x_0)\not=h(x_0)[/mm] und es
> gibt Folgen [mm]a_n \to x_0, b_n \to x_0, g(a_n) \to x^2-1[/mm] und
> [mm]h(b_n) \to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0, deshalb ist f(x) dort nicht stetig.
>
> Ist das ok? Irgendwie kommt mir das noch etwas schwammig
> vor.
Vielleicht so: Da $\IQ$ und $\IR\setminus \IQ$ dicht in $\IR$ liegen, gibt es eine rationale Folge $(a_n)$ und eine irrationale Folge $(b_n)$, die beide gegen $x_0$ konvergieren.
Da $g$ stetig ist, ist
$\lim_{n\to\infty} f(a_n) = \lim_{n\to\infty} g(a_n)} = g(x_0)\ne 0 = \lim_{n\to\infty} h(b_n)= \lim_{n\to\infty} f(b_n)\,.$
Damit ist $f$ in $x_0$ nicht folgenstetig, also auch nicht stetig.
Grüße,
Wolfgang
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Wolfgang,
lieben Dank für die ausführliche Antwort! Ich fasse die nochmal zusammen, um zu fragen, ob ich dass dann so stehen lassen kann:
---
Sei g(x) = x^2 - 1 sowie h(x) = 0. h(x) ist stetig, da konstante Funktionen auf dem gesamten Definitionsbereich stetig sind. g(x) ist als Differenz der stetigen Funktionen k(x)=x*x=x^2 und l(x) = -1 wiederum stetig (s. Vorlesung).
Die Schnittpunkte beider Funktionen liegen bei s_0 = -1 sowie s_1 = 1. Für $x\in\IR\setminus\IQ$ ist $f(x)=g(x)$ und für $x\in\IR$ ist $f(x)= h(x)=0$. Zu $\epsilon > 0$ gibt es ein $\delta>0$, so daß wir $|x-1|<\delta \Rightarrow |g(x) - g(1)|<\epsilon$ haben.
Für $|x-1| < \delta $ und $x\in \IR\setminus\IQ$ haben wir daher $|f(x)-f(1)|= |g(x)-g(1)| < \epsilon$ und für $x\in \IQ$ haben wir $|f(x)-f(1)| = |h(x)-0| = 0 < \epsilon\,.$
Ebenso am Punkt $-1$, also ist $f$ in $\pm 1$ stetig.
Da $\IQ$ und $\IR\setminus \IQ$ dicht in $\IR$ liegen, gibt es eine rationale Folge $(a_n)$ und eine irrationale Folge $(b_n)$, die beide gegen $x_0$ konvergieren.
Da $g$ stetig ist, ist
$\lim_{n\to\infty} f(a_n) = \lim_{n\to\infty} g(a_n)} = g(x_0)\ne 0 = \lim_{n\to\infty} h(b_n)= \lim_{n\to\infty} f(b_n)\,.$
Damit ist $f$ in $x_0$ nicht folgenstetig, also auch nicht stetig.
---
Fragen:
1. Habe ich das korrekt korrigiert bezüglich deiner Anmerkung "Oder umgekehrt?" oder etwas falsch verstanden?
2. Zum Verständnis des Beweises, dass die Funktion in \pm 1 stetig ist: Wir machen uns unser Wissen über die Schnittpunkte zunutze, aufgrund der Stetigkeit von g(x) können wir die Epsilon-Delta-Stetigkeitsdefinition für den Punkt anwenden und zeigen dann, dass auch h(x) an dem Punkt stetig ist?
3. Deine Formulierung mit der Folgenstetigkeit ist natürlich schöner, aber wäre meine vorherige auch als korrekt durchgegangen?
4. Du schreibst "Zu \varepsilon > 0", wir schreiben immer "\forall \varepsilon > 0". Ist beides ok oder darf man nur als fertiger Mathematiker die erste Schreibweise nehmen? :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Wolfgang,
>
> lieben Dank für die ausführliche Antwort! Ich fasse die
> nochmal zusammen, um zu fragen, ob ich dass dann so stehen
> lassen kann:
> ---
> Sei g(x) = [mm]x^2[/mm] - 1 sowie h(x) = 0. h(x) ist stetig, da
> konstante Funktionen auf dem gesamten Definitionsbereich
> stetig sind. g(x) ist als Differenz der stetigen Funktionen
> [mm]k(x)=x*x=x^2[/mm] und l(x) = -1 wiederum stetig (s. Vorlesung).
Richtig. Vielleicht ist noch zu erwähnen, daß der Definitionsbereich [mm] $\IR$ [/mm] ist.
>
> Die Schnittpunkte beider Funktionen liegen bei [mm]s_0[/mm] = -1
> sowie [mm]s_1[/mm] = 1. Für [mm]x\in\IR\setminus\IQ[/mm] ist [mm]f(x)=g(x)[/mm] und
> für [mm]x\in\IR[/mm] ist [mm]f(x)= h(x)=0[/mm]. Zu [mm]\epsilon > 0[/mm] gibt es ein
> [mm]\delta>0[/mm], so daß wir [mm]|x-1|<\delta \Rightarrow |g(x) - g(1)|<\epsilon[/mm]
> haben.
Oben muß es einmal [mm] $\IQ$ [/mm] statt [mm] $\IR$ [/mm] heißen.
>
> Für [mm]|x-1| < \delta[/mm] und [mm]x\in \IR\setminus\IQ[/mm] haben wir
> daher [mm]|f(x)-f(1)|= |g(x)-g(1)| < \epsilon[/mm] und für [mm]x\in \IQ[/mm]
> haben wir [mm]|f(x)-f(1)| = |h(x)-0| = 0 < \epsilon\,.[/mm]
>
> Ebenso am Punkt [mm]-1[/mm], also ist [mm]f[/mm] in [mm]\pm 1[/mm] stetig.
>
> Da [mm]\IQ[/mm] und [mm]\IR\setminus \IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm] liegen, gibt es
> eine rationale Folge [mm](a_n)[/mm] und eine irrationale Folge
> [mm](b_n)[/mm], die beide gegen [mm]x_0[/mm] konvergieren.
>
> Da [mm]g[/mm] stetig ist, ist
>
> [mm]\lim_{n\to\infty} f(a_n) = \lim_{n\to\infty} g(a_n)} = g(x_0)\ne 0 = \lim_{n\to\infty} h(b_n)= \lim_{n\to\infty} f(b_n)\,.[/mm]
>
> Damit ist [mm]f[/mm] in [mm]x_0[/mm] nicht folgenstetig, also auch nicht
> stetig.
>
> ---
> Fragen:
> 1. Habe ich das korrekt korrigiert bezüglich deiner
> Anmerkung "Oder umgekehrt?" oder etwas falsch verstanden?
Alles richtig verstanden!
> 2. Zum Verständnis des Beweises, dass die Funktion in [mm]\pm[/mm]
> 1 stetig ist: Wir machen uns unser Wissen über die
> Schnittpunkte zunutze, aufgrund der Stetigkeit von g(x)
> können wir die Epsilon-Delta-Stetigkeitsdefinition für
> den Punkt anwenden und zeigen dann, dass auch h(x) an dem
> Punkt stetig ist?
Ja. So wie Du geschrieben hast.
> 3. Deine Formulierung mit der Folgenstetigkeit ist
> natürlich schöner, aber wäre meine vorherige auch als
> korrekt durchgegangen?
> 4. Du schreibst "Zu [mm]\varepsilon[/mm] > 0", wir schreiben immer
> [mm]"\forall \varepsilon[/mm] > 0". Ist beides ok oder darf man nur
> als fertiger Mathematiker die erste Schreibweise nehmen? :)
Aber dies schreibt Ihr doch nicht, um Stetigkeit nachzuweisen, sondern nur um Stetigkeit zu definieren.
Um zu zeigen, daß f in [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist, formuliert man etwa:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig vorgegeben oder sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ oder sei [mm] $\epsilon$ [/mm] eine beliebige positive Zahl ...
Und dies darf man schreiben, egal wie fertig man mit der Mathematik ist. Im Zweifelsfall benutze einfach den gesunden Menschenverstand und Sprachgefühl.
Grüße,
Wolfgang
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