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| Aufgabe | Sei [mm]f:\IR\longrightarrow\IR[/mm]. Beweisen Sie, dass
[mm] M:=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{y\in\IR}int\left(f^{-1}\left(y-\frac{1}{k},y+\frac{1}{k}\right)\right)[/mm]
die Menge aller Stetigkeitsstellen der Funktion f ist.
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Hallo zusammen. Also ich hab mir für den Beweis folgendes überlegt!
Angenommen es gäbe [mm]x\in\IR[/mm] mit der Eigenschaft, dass es nicht in M liegt und das f an dieser Stelle stetig ist. Setze dann für [mm] k\in\IN: \epsilon=\frac{1}{k}>0[/mm]. Da f ja stetig bei x ist, gibt es also ein [mm]\delta_k>0[/mm] so dass für alle [mm]z\in\left(x-\delta_k,x+\delta_k\right)[/mm]:
[mm] f(z)\in\left(f(x)-\frac{1}{k},f(x)+\frac{1}{k}\right)[/mm]
Dann ist aber x ein innerer Punkt von [mm] f^{-1}\left(f(x)-\frac{1}{k},f(x)+\frac{1}{k}\right)[/mm] (da, ja mit x auch die Kugel [mm]B_{\frac{\delta_k}{2}}(x)[/mm] in [mm] f^{-1}\left(f(x)-\frac{1}{k},f(x)+\frac{1}{k}\right)[/mm] enthalten ist.
Also: [mm] x\in int\left(f^{-1}\left(f(x)-\frac{1}{k},f(x)+\frac{1}{k}\right)\right)[/mm]
Da [mm] f(x)\in\IR[/mm] gilt dann auch:
[mm]x\in\bigcup_{y\in\IR}int\left(f^{-1}\left(y-\frac{1}{k},y+\frac{1}{k}\right)\right)[/mm]
Nun war k aber beliebig gewählt und somit ist
[mm] x\in\bigcup_{y\in\IR}int\left(f^{-1}\left(y-\frac{1}{k},y+\frac{1}{k}\right)\right) \forall k\in\IN[/mm]
und daher ist x in M, im Widerspruch zur Annahme.
Ist das soweit richtig und reicht der Beweis oder muss ich da noch mehr machen?
Gruß
Deuterinomium
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:\IR\longrightarrow\IR[/mm]. Beweisen Sie, dass
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> [mm]M:=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{y\in\IR}int\left(f^{-1}\left(y-\frac{1}{k},y+\frac{1}{k}\right)\right)[/mm]
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> die Menge aller Stetigkeitsstellen der Funktion f ist.
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> Hallo zusammen. Also ich hab mir für den Beweis folgendes
> überlegt!
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> Angenommen es gäbe [mm]x\in\IR[/mm] mit der Eigenschaft, dass es
> nicht in M liegt und das f an dieser Stelle stetig ist.
> Setze dann für [mm]k\in\IN: \epsilon=\frac{1}{k}>0[/mm]. Da f ja
> stetig bei x ist, gibt es also ein [mm]\delta_k>0[/mm] so dass für
> alle [mm]z\in\left(x-\delta_k,x+\delta_k\right)[/mm]:
>
> [mm]f(z)\in\left(f(x)-\frac{1}{k},f(x)+\frac{1}{k}\right)[/mm]
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> Dann ist aber x ein innerer Punkt von
> [mm]f^{-1}\left(f(x)-\frac{1}{k},f(x)+\frac{1}{k}\right)[/mm] (da,
> ja mit x auch die Kugel [mm]B_{\frac{\delta_k}{2}}(x)[/mm] in
> [mm]f^{-1}\left(f(x)-\frac{1}{k},f(x)+\frac{1}{k}\right)[/mm]
> enthalten ist.
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> Also: [mm]x\in int\left(f^{-1}\left(f(x)-\frac{1}{k},f(x)+\frac{1}{k}\right)\right)[/mm]
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> Da [mm]f(x)\in\IR[/mm] gilt dann auch:
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> [mm]x\in\bigcup_{y\in\IR}int\left(f^{-1}\left(y-\frac{1}{k},y+\frac{1}{k}\right)\right)[/mm]
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> Nun war k aber beliebig gewählt und somit ist
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> [mm]x\in\bigcup_{y\in\IR}int\left(f^{-1}\left(y-\frac{1}{k},y+\frac{1}{k}\right)\right) \forall k\in\IN[/mm]
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> und daher ist x in M, im Widerspruch zur Annahme.
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> Ist das soweit richtig
Sieht gut aus !
> und reicht der Beweis oder muss ich
> da noch mehr machen?
Du hast gezeigt : f stetig in x [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M. [mm] "\Leftarrow" [/mm] mußt Du auch noch zeigen !
FRED
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> Gruß
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> Deuterinomium
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Danke Fred, ich hab schon sowas vermutet.
Also, ich habe den Beweis nochmal überarbeitet und vervollständigt:
Beweis:
Wir müssen zeigen, dass:
[mm]x\in M\Longleftrightarrow[/mm] f stetig in [mm]x\in\IR[/mm]
"[mm]\Longrightarrow[/mm]":
Seien [mm]x\in M [/mm] und [mm] \epsilon>0[/mm] vorgegeben. Dann ist [mm] x\in \bigcup_{y\in\IR}int\left(f^{-1}\left(y-\frac{1}{k},y+\frac{1}{k}\right)\right) \forall k\in\IN[/mm]. Insbesondere ist also
[mm]x\in\bigcup_{y\in\IR}int\left(f^{-1}\left(y-\frac{1}{2k_0},y+\frac{1}{2k_0}\right)\right)[/mm]
für ein [mm] k_0\in\IN [/mm] so gewählt, dass [mm]\frac{1}{k_0}\leq\epsilon[/mm] (möglich, da [mm]\frac{1}{k}[/mm] eine Nullfolge ist.)
Dann gibt es aber mindestens ein [mm]y_0\in\IR[/mm], so dass
[mm] x\in int\left(f^{-1}\left(y_0-\frac{1}{2k_0},y_0+\frac{1}{2k_0}\right)\right)[/mm]
und somit ein [mm] \delta_{k_0}>0[/mm], so dass
[mm]\left(x-\delta_{k_0},x+\delta_{k_0}\right)\subset f^{-1}\left(y_0-\frac{1}{2k_0},y_0+\frac{1}{2k_0}\right)[/mm] (*)
Also gilt [mm] \forall z\in\left(x-\delta_{k_0},x+\delta_{k_0}\right) [/mm]:
[mm]\left|f(z)-y_0\right|<\frac{1}{2k_0}[/mm]
und nach (*) insbesondere auch [mm] \left|f(x)-y_0\right]<\frac{1}{2k_0}[/mm].
Somit erhalten wir:
[mm] |f(z)-f(x)|\leq|f(z)-y_0|+|y_0-f(x)|<\frac{1}{2k_0}+\frac{1}{2k_0}=\frac{1}{k_0}\leq\epsilon \; \forall z\in\left(x-\delta_{k_0},x+\delta_{k_0}\right)[/mm]
Also ist f stetig bei [mm]x\in M[/mm]
"[mm]\Longleftarrow[/mm]":
Sei f stetig in [mm]x\in\iR[/mm] und [mm]k\in\IN[/mm] beliebig. Dann ist [mm]\frac{1}{k}>0[/mm] und da f stetig in x ist, gibt es ein [mm]\delta_k>0[/mm] so dass [mm] \forall z\in\left(x-\delta_k,x+\delta_k\right) [/mm]:
[mm]f(z)\in\left(f(x)-\frac{1}{k},f(x)+\frac{1}{k}\right)[/mm]
Dann ist aber x ein innerer Punkt von [mm]f^{-1}\left(f(x)-\frac{1}{k},f(x)+\frac{1}{k}\right)[/mm] (da ja mit x auch die Kugel [mm] B_{\frac{\delta_k}{2}}(x)[/mm] in [mm] f^{-1}\left(f(x)-\frac{1}{k},f(x)+\frac{1}{k}\right)[/mm] enthalten ist.)
Also folgt:
[mm] x\in int\left(f^{-1}\left(f(x)-\frac{1}{k},f(x)+\frac{1}{k}\right)\right)[/mm]
Da [mm]f(x)\in\IR[/mm] gilt dann auch:
[mm]x\in\bigcup_{y\in\IR}int\left(f^{-1}\left(y-\frac{1}{k},y+\frac{1}{k}\right)\right)[/mm]
Nun war k aber beliebig gewählt und somit ist
[mm] x\in\bigcup_{y\in\IR}int\left(f^{-1}\left(y-\frac{1}{k},y+\frac{1}{k}\right)\right) \forall k\in\IN[/mm]
und daher ist x in M.
Ist das so richtig?
Gruß Deuterinomium
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:12 Mi 17.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Alles richtig
FRED
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