Stetigkeitsbeweis < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] f(x)=\begin{cases} x^2*sin(\bruch{1}{x^2}), & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
stetig ist. |
Hallo, wollte nur nachfragen, ob meine Lösung richtig ist.
Da [mm] x^2*sin(\bruch{1}{x^2}) [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0 als Komposition stetiger Funktionen stetig ist, bleibt nur noch zu zeigen, dass
[mm] \limes_{x\uparrow 0} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\downarrow 0} [/mm] f(x) = 0
[mm] \limes_{x\uparrow 0} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\uparrow 0} x^2sin(\bruch{1}{x^2}) [/mm] = [mm] \limes_{x\uparrow 0} x^2\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k*x^2^k^+^1}{(2k+1)!} [/mm] = [mm] \limes_{x\uparrow 0} \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k*x^2^k^+^3}{(2k+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k*\limes_{x\uparrow 0} x^2^k^+^3}{(2k+1)!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k*0}{(2k+1)!} [/mm] = 0
Analog für [mm] \limes_{x\downarrow 0} [/mm] f(x)
Viele Grüße,
Gratwanderer
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 So 31.01.2010 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
du hast recht, wen du nur x = 0 untersuchst.
Aber beachte, dass du die Reihe für [mm] sin(\frac{1}{x^2}) [/mm] brauchst!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 So 31.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]\limes_{x\uparrow 0} x^2sin(\bruch{1}{x^2}) = \limes_{x\uparrow 0} x^2\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k*x^2^k^+^1}{(2k+1)!}[/mm]
Dieses Gleichheitszeichen ist problematisch.
(Das [mm] $x^{2 k + 1}$ [/mm] schreibt man uebrigens so: x^{2 k + 1}.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
Ok, vielen Dank für den Tipp ;)
dann sähe das ja so aus
... = [mm] \limes_{x\uparrow 0} x^2sin(\bruch{1}{x^2}) [/mm] = [mm] \limes_{x\uparrow 0} x^2\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k\cdot{}x^{2k-1}}{(2k+1)!} [/mm] = [mm] \limes_{x\uparrow 0} \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k\cdot{}x^{2k+1}}{(2k+1)!} [/mm] = ...
und dann im Prinzip weiter wie vorhin, oder?
Gruß, Gratwanderer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Mo 01.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Irgendwie seh ich hier nur die Reihe für [mm] sin(x^2) [/mm] nicht die für [mm] sin(1/x^2)
[/mm]
Dein Beweis würde ja zeigen dass [mm] sin(1/x^2) [/mm] selbst bei 0 stetig ist, was falsch ist.
gruss leduart
|
|
|
|
