Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Do 18.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | $\ [mm] f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } \le 0 \\ x^2, & \mbox{für } x > 0 \end{cases} [/mm] $ |
Hallo,
Hab ein paar Fragen zu meinem Lösungsansatz.
Hier gilt es ja, die Fälle $\ x < 0 $, $\ x = 0 $ und $\ x > 0 $ zu untersuchen.
Ich wollte fragen, ob es, so wie ich argumentier, zulässig ist:
Sei $\ x < 0 $
Dann gibt es für jedes $\ x $ eine $\ [mm] \delta-$Umgebung [/mm] mit $\ [mm] [x-\delta, x+\delta] [/mm] $ so, dass $\ f(x) = 0 $ konstant ist und somit stetig.
Sei $\ x > 0 $
Dann gibt es für jedes $\ x $ eine $\ [mm] \delta-$Umgebung [/mm] mit $\ [mm] [x-\delta, x+\delta] [/mm] $ so, dass $\ f(x) = [mm] x^2 [/mm] $ ein Polynom ist und somit stetig.
Sei $\ x = 0 $
Weiter sei $\ [mm] (x_n) [/mm] $ eine reelle Folge mit $\ [mm] \lim x_n [/mm] = 0 $. Dann gibt es ein $\ [mm] \varepsilon [/mm] > 0 $, so dass $\ [mm] |x_n| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $\ n > [mm] n_0 [/mm] $. Daraus folgt $\ [mm] \lim f((x_n)) [/mm] = [mm] \lim (x_n)^2 =\lim \left((x_n)(x_n)\right) [/mm] = 0 $ und $\ [mm] |f(x_n)-f(0)| [/mm] = [mm] |f(x_n)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle $\ n > [mm] n_0$
[/mm]
Vor allem beim Fall $\ x = 0 $ bin ich ein wenig skeptisch. Ist das ueberhaupt korrekt ?
Ich hab' hier eine positive Nullfolge vorausgesetzt und deshalb auch $\ [mm] f((x_n)) [/mm] = [mm] (x_n)^2 [/mm] $ mit $\ [mm] x_n [/mm] > 0 $.
Muss ich auch noch eine Folge, die sich von links nähert betrachten? Bzw. hätte ich alternativ auch eine Folge, die sich von links nähert heranziehen dürfen?
In der Lösung heißt es zum ersten Fall :
Für $\ x < 0 $ gibt es ein $\ [mm] \delta [/mm] > 0 $, so dass $\ [mm] f|(x-\delta,x+\delta) [/mm] $ konstant ist. ...
Ist hier mit $\ [mm] f|(x-\delta,x+\delta) [/mm] $ eine Einschränkung des Definitionsbereichs auf das Intervall $\ [mm] (x-\delta,x+\delta)$ [/mm] gemeint?
Freue mich über Hilfe.
Vielen Dank
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Do 18.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]\ f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } \le 0 \\ x^2, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
>
> Hab ein paar Fragen zu meinem Lösungsansatz.
> Hier gilt es ja, die Fälle [mm]\ x < 0 [/mm], [mm]\ x = 0[/mm] und [mm]\ x > 0[/mm]
> zu untersuchen.
> Ich wollte fragen, ob es, so wie ich argumentier,
> zulässig ist:
>
> Sei [mm]\ x < 0[/mm]
>
> Dann gibt es für jedes [mm]\ x[/mm] eine [mm]\ \delta-[/mm]Umgebung mit [mm]\ [x-\delta, x+\delta][/mm]
> so, dass [mm]\ f(x) = 0[/mm] konstant ist und somit stetig.
> Sei [mm]\ x > 0[/mm]
>
> Dann gibt es für jedes [mm]\ x[/mm] eine [mm]\ \delta-[/mm]Umgebung mit [mm]\ [x-\delta, x+\delta][/mm]
> so, dass [mm]\ f(x) = x^2[/mm] ein Polynom ist und somit stetig.
>
> Sei [mm]\ x = 0[/mm]
>
> Weiter sei [mm]\ (x_n)[/mm] eine reelle Folge mit [mm]\ \lim x_n = 0 [/mm].
> Dann gibt es ein [mm]\ \varepsilon > 0 [/mm], so dass [mm]\ |x_n| < \varepsilon[/mm]
> für alle [mm]\ n > n_0 [/mm]. Daraus folgt [mm]\ \lim f((x_n)) = \lim (x_n)^2 =\lim \left((x_n)(x_n)\right) = 0[/mm]
> und [mm]\ |f(x_n)-f(0)| = |f(x_n)| < \varepsilon[/mm] für alle [mm]\ n > n_0[/mm]
>
> Vor allem beim Fall [mm]\ x = 0[/mm] bin ich ein wenig skeptisch.
> Ist das ueberhaupt korrekt ?
Besser schreibt man [mm] |x_n|< \delta [/mm] mit [mm] \delta/\epsilon, [/mm] aber sonst ists auch so richtig
> Ich hab' hier eine positive Nullfolge vorausgesetzt und
> deshalb auch [mm]\ f((x_n)) = (x_n)^2[/mm] mit [mm]\ x_n > 0 [/mm].
> Muss ich
> auch noch eine Folge, die sich von links nähert
> betrachten? Bzw. hätte ich alternativ auch eine Folge, die
> sich von links nähert heranziehen dürfen?
Du musst auch ne Folge von links betrachten.
> In der Lösung heißt es zum ersten Fall :
> Für [mm]\ x < 0[/mm] gibt es ein [mm]\ \delta > 0 [/mm], so dass [mm]\ f|(x-\delta,x+\delta)[/mm]
> konstant ist. ...
>
> Ist hier mit [mm]\ f|(x-\delta,x+\delta)[/mm] eine Einschränkung
> des Definitionsbereichs auf das Intervall [mm]\ (x-\delta,x+\delta)[/mm]
> gemeint?
nein, das ist nur wie immer die [mm] \epsilon, \delta [/mm] Def der Stetigkeit. und noch wegen x<0 genauer [mm] x
Das wurde nur, weil klar mit x<0 nicht gesagt.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Fr 19.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Zum Fall x=0.
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Nullfolge. Wir zeigen: [mm] (f(x_n)) [/mm] ist eine Nullfolge (damit ist die Stetigkeit in x=0 gezeigt)
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Es ex. ein [mm] n_0 [/mm] in [mm] \IN [/mm] mit [mm] $|x_n| [/mm] < [mm] \wurzel{\varepsilon }$ [/mm] für n > [mm] n_0.
[/mm]
Sei n > [mm] n_0. [/mm] Ist [mm] x_n>0, [/mm] so ist [mm] |f(x_n)| [/mm] = [mm] x_n^2 [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] , ist [mm] x_n \le [/mm] 0, so ist [mm] |f(x_n)|=0 [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
Fazit: [mm] |f(x_n)|< \varepsilon [/mm] für jedes [mm] n>n_0
[/mm]
FRED
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