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| Aufgabe | Untersuchen sie an welchen Stellen die Funktion [mm] \IR \to \IR [/mm]
mit [mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{falls } x\in\IQ \mbox{ } \\ 1-x, & \mbox{falls } x\in \IR \backslash \IQ \mbox{ } \end{cases} [/mm] |
Hallo
ich bearbeite zum ersten mal die aufgabe und weis leider nicht wie ich hier anfangen soll.
Könnt ihr mir vllt ein Teil der Aufgabe zeigen oder einen Ansatz geben, wie ich anfangen soll.
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 Mi 13.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen sie an welchen Stellen die Funktion [mm]\IR \to \IR[/mm]
> mit [mm]f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{falls } x\in\IQ \mbox{ } \\ 1-x, & \mbox{falls } x\in \IR\backslash\IQ \mbox{ } \end{cases}[/mm]
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> Hallo
> ich bearbeite zum ersten mal die aufgabe und weis leider
> nicht wie ich hier anfangen soll.
> Könnt ihr mir vllt ein Teil der Aufgabe zeigen oder einen
> Ansatz geben, wie ich anfangen soll.
>
> Mfg
Ist x eine feste reelle zahl, so gibt es eine Folge rationaler zahlen, die gegen x konvergiert und ebenso gibt es eine Folge irrationaler zahlen, die gegen x konvergiert.
Fred
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Do 14.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
sagt dir der Begriff Folgenstetigkeit etwas?
oder in jeder Umgebung einer rationalen Zahl gibt es reelle Zahlen. wenn du mit [mm] \epsilon \delta [/mm] beweisen willst.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Do 14.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Das heißt jetzt... ??
1. Nimm an, f ist in [mm] x_0 \in \IR [/mm] stetig. Wähle eine Folge [mm] (r_n) [/mm] in [mm] \IQ [/mm] und eine Folge [mm] (i_n) [/mm] in [mm] \IR \setminus \IQ [/mm] mit
[mm] r_n \to x_0 [/mm] und [mm] i_n \to x_0.
[/mm]
Zeige damit: [mm] x_0=1/2.
[/mm]
2. Überlege Dir dass gilt
[mm] |f(x)-\bruch{1}{2}|=|x-\bruch{1}{2}| [/mm] für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Daraus folgt dann, dass f in [mm] \bruch{1}{2} [/mm] stetig ist.
Aus 1. und 2. bekommen wir: für [mm] x_0 \in \IR:
[/mm]
f ist in [mm] x_0 [/mm] stetig [mm] \gdw x_0=\bruch{1}{2}
[/mm]
FRED
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