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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Stetigkeit von g(x,y)
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Stetigkeit von g(x,y): z.z. Unstetigkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:32 Do 17.05.2007
Autor: Tealc

Aufgabe
Die Funktion g sei für [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] durch
[mm] g(x,y)=\bruch{x*y^2}{x^2+y^4} [/mm]

gegeben, und sei g(0,0):=0. Zeigen Sie: Die Funktion g ist in (0,0) unstetig, aber g ist im Nullpunkt längs jeder Geraden stetig.

Hi

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Könnt ihr mir zufällig verraten wie ich die Unstetigkeit in (0,0) beweisen soll ? Ich hatte bisher einfach versucht den Grenzwert von (x,y) gegen (0,0) laufen zu lassen und es kommt tatsächlich 0 raus!

also habe ich versucht [mm] \limes_{x\rightarrow\inft0}\limes_{y\rightarrow\inft0}g(x,y) [/mm] und anschließend [mm] limes_{y\rightarrow\inft0}\limes_{x\rightarrow\inft0}g(x,y) [/mm] zu zeigen in der Hoffnung dass unterschiedliche Werte rauskommen. Aber nein das Glück hatte ich auch nicht :(

Was den 2ten Teil der Aufgabe betrifft:
Da reicht es doch einfach die partiellen Ableitungen zu zeigen oder nicht ?

Wäre echt nett wenn mir jemand einen Tipp geben könnte !

Gruss Tealc

        
Bezug
Stetigkeit von g(x,y): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Do 17.05.2007
Autor: leduart

Hallo
> Die Funktion g sei für [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] durch
>  [mm]g(x,y)=\bruch{x*y^2}{x^2+y^4}[/mm]
>  
> gegeben, und sei g(0,0):=0. Zeigen Sie: Die Funktion g ist
> in (0,0) unstetig, aber g ist im Nullpunkt längs jeder
> Geraden stetig.
>  Hi
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Könnt ihr mir zufällig verraten wie ich die Unstetigkeit in
> (0,0) beweisen soll ? Ich hatte bisher einfach versucht den
> Grenzwert von (x,y) gegen (0,0) laufen zu lassen und es
> kommt tatsächlich 0 raus!

was ist für dich der GW (x,y) gegem (0,0)? Dazu musst du doch zeigen : zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] \delta, [/mm] sodass für [mm] \wurzel{x^2+y^2}<\delta [/mm] gilt [mm] |g(x,y)|<\varepsilon. [/mm]
dass du sowas gemacht hast glaub ich nicht, denn es ist falsch!

> also habe ich versucht
> [mm]\limes_{x\rightarrow\inft0}\limes_{y\rightarrow\inft0}g(x,y)[/mm]
> und anschließend

dabei läufst du auf der x bzw y-Achse gegen 0 und das ist einer der Geraden, auf denen es ja stetig sein soll!
>[mm]limes_{y\rightarrow\inft0}\limes_{x\rightarrow\inft0}g(x,y)[/mm]

> zu zeigen in der Hoffnung dass unterschiedliche Werte
> rauskommen. Aber nein das Glück hatte ich auch nicht :(
>  
> Was den 2ten Teil der Aufgabe betrifft:
>  Da reicht es doch einfach die partiellen Ableitungen zu
> zeigen oder nicht ?

Stetigkeit ist doch weniger als Differenzierbarkeit, was willst du hier zeigen?
stetig auf jeder Geraden heisst stetig für alle y=a*x a beliebig, das ist einfach.
Unstetig: probier mal auf der Kurve [mm] x=y^2 [/mm] nach 0 zu laufen!
Gruss leduart

> Wäre echt nett wenn mir jemand einen Tipp geben könnte !
>  
> Gruss Tealc


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