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Stetigkeit von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 So 03.02.2013
Autor: zitrone

Hallo!

Ich habe ein Problem bei dem Verständnis der Stetigkeit von Funktionen...
Hab zum Bsp dazu eine Aufgabe:

Für welchen Parameter e element [mm] (0,\infty) [/mm] ist die Funktion [mm] fa(0,\infty) [/mm] --> R mit

[mm] f(a)=\begin{cases} a*x, & \mbox{} \mbox{falls 0
stetig in 2?

Ich weiß, dass für a 0,5 eingesetzt werden muss. Aber ich kann nicht nachvollziehen, wieso man sagt, dass:

[mm] \limes_{x\rightarrow\ 2links} [/mm] ax= [mm] \limes_{x\rightarrow\ 2rechts} [/mm] 1 = f(2)


[mm] \limes_{x\rightarrow\ 2rechts} [/mm] ax=1 = 1

[mm] \limes_{x\rightarrow\ 2rechts} [/mm] ax=1



An sich versteh ich das Prinzip des rechts- und linksseitigen Grenzwertes nicht...Wie kann man sich das vorstellen? Bzw wie geht man an eine Funktion dran, an welcher man es bestimmen muss?

Könnte mir bitte jemand helfen?

LG zitrone

        
Bezug
Stetigkeit von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 So 03.02.2013
Autor: schachuzipus

Hallo zitrone,


> Hallo!
>  
> Ich habe ein Problem bei dem Verständnis der Stetigkeit
> von Funktionen...
>  Hab zum Bsp dazu eine Aufgabe:
>  
> Für welchen Parameter e element [mm](0,\infty)[/mm] ist die
> Funktion [mm]fa(0,\infty)[/mm] --> R mit
>
> [mm]\red{f(a)}=\begin{cases} a*x, & \mbox{} \mbox{falls 0

Das soll wohl [mm]f_a(x)[/mm] heißen ...

>  
> stetig in 2?
>  
> Ich weiß, dass für a 0,5 eingesetzt werden muss. Aber ich
> kann nicht nachvollziehen, wieso man sagt, dass:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 2links}[/mm] ax= [mm]\limes_{x\rightarrow\ 2rechts}[/mm]  1 = f(2)

Statt [mm]ax[/mm] und [mm]1[/mm] sollte da erstmal [mm]f(x)[/mm] stehen.

Wenn du dann den linksseitigen Limes betrachtest, bist du mit den x'en links von 2, also [mm]<2[/mm]. Dort ist dann [mm]f(x)=ax[/mm] definiert.

Beim rechtsseitigen bist du mit den x'en entsprechend rechts von 2, also >2, dort ist [mm]f(x)=1[/mm]


Eine Funktion ist an einer Stelle [mm]x_0[/mm] stetig, wenn sie dort definiert ist und linksseitiger und rechtsseitiger Limes gleich sind und mit dem Funktionswert an dieser Stelle übereinstimmen:

[mm]\lim\limits_{x\to x_0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)[/mm]

Das muss man dann im Weiteren ausrechnen ...

>  
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 2rechts}[/mm] ax=1 = 1

??

Du meinst [mm]x\to 2 \ links[/mm]

>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 2rechts}[/mm] ax=1

??

Hää?

Das ist eine "merkwürdige" Rechnung.

Es ist doch [mm]\lim\limits_{x\to 2^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 2, x<2}f(x)=\lim\limits_{x\to 2, x<2}ax=2a[/mm]

Und das soll [mm]=f(2)=1[/mm] sein, also [mm]2a=1[/mm] und damit [mm]a=1/2[/mm]

Weiter muss gelten [mm]\lim\limits_{x\to 2^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 2, x>2}f(x)=\lim\limits_{x\to 2, x>2}1=1[/mm]

Und das muss auch [mm]=f(2)=1[/mm] sein, aber das ist es ja schon ;-)

Also stimmen für [mm]a=1/2[/mm] rechts- und linksseitiger GW überein und beide sind [mm]=f(2)=1[/mm]

>  
>
>
> An sich versteh ich das Prinzip des rechts- und
> linksseitigen Grenzwertes nicht...Wie kann man sich das
> vorstellen?

Nun, die Funktion muss ja an der entsprechnenden "Nahtstelle" zusammenkleben, es darf keinen Sprung geben, wenn du dich von rechts oder von links annäherst.

> Bzw wie geht man an eine Funktion dran, an
> welcher man es bestimmen muss?

Wie in der Aufgabe: linksseitigen Limes berechnen, rechtsseitigen berechnen.

Für Stetigkeit müssen beide übereinstimmen und gleich dem Funktionswert an der Stelle sein.

>  
> Könnte mir bitte jemand helfen?
>  
> LG zitrone

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Stetigkeit von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:12 So 03.02.2013
Autor: zitrone

super danke!:)

Bezug
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