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| Aufgabe | Sei [mm] f(x):=\begin{cases} xsin(\bruch{1}{x}),x\not=0 \\ a, x=0 \end{cases}
[/mm]
a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit, sowie stetige Differenzierbarkeit. |
Hallo,
Also zur Stetigkeit: Für [mm] x\not=0 [/mm] haben wir ja zwei differenzierbare Funktionen x und [mm] sin(\bruch{1}{x}), [/mm] also ist die Komposition auch differenzierbar und somit die Funktion f stetig für [mm] x\not=0.
[/mm]
Für x=0: Um Stetigkeit in dem Punkt x=0 zu zeigen muss doch gelten: Der Grenzwert der Funktion [mm] xsin(\bruch{1}{x}) [/mm] für x gegen 0 muss das gleiche sein wie der Wert der Funktion an der Stelle x=0 (Welcher nach Definition ja grade a ist. Also muss die Gleichung [mm] \limes_{x\rightarrow 0}xsin(\bruch{1}{x})=a [/mm] erfüllt sein. Das ist äquivalent zu: [mm] \limes_{x\rightarrow 0}xsin(\bruch{1}{x})-a=0
[/mm]
und der Grenzwert [mm] x\to [/mm] 0 ist Null, also bleibt noch: 0-a=0 [mm] \Rightarrow [/mm] Die Funktion f ist nur stetig in x=0 und damit „allgemein stetig", wenn a=0 ist.
Stimmt das soweit?
Zur Differenzierbarkeit:
Für [mm] x\not=0 [/mm] sind ja beide Funktionen x und [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] diffbar, wie oben schon angemerkt.
Also betrachten wir den Fall x=0:
Wenn die Funktion im Punkt x=0 differenzierbar ist, muss der Grenzwert des Differenzenquotienten existieren für: [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{xsin(\bruch{1}{x})-f(0)}{x-0} \gdw \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{xsin(\bruch{1}{x})}{x}\gdw \limes_{x\rightarrow 0}sin(\bruch{1}{x}) [/mm] (Wenn wir f(0)=a= 0 haben)
Und dieser Limes existiert ja nicht, deshalb ist die Funktion f nicht differenzierbar in x=0. Ist das korrekt und muss man die Aussage „der Grenzwert existiert nicht“ noch irgendwie näher begründen können?...Finde eig relativ klar?!=)
Zuletzt zur stetigen Differenzierbarkeit: Das bedeutet doch, dass die Ableitungsfunktion stetig ist. Aber jetzt ist doch f im Punkt x=0 gar nicht differenzierbar, also kann doch f nicht stetig differenzierbar sein?
Wäre nett, wenn hier mal jemand drüber schauen könnte und mir sagen, ob das soweit ok ist, was ich fabriziert habe=)
Danke schonmal im Voraus!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Sa 05.02.2011 | | Autor: | nooschi |
> Sei [mm]f(x):=\begin{cases} xsin(\bruch{1}{x}),x\not=0 \\ a, x=0 \end{cases}[/mm]
>
> a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Stetigkeit,
> Differenzierbarkeit, sowie stetige Differenzierbarkeit.
> Hallo,
>
> Also zur Stetigkeit: Für [mm]x\not=0[/mm] haben wir ja zwei
> differenzierbare Funktionen x und [mm]sin(\bruch{1}{x}),[/mm] also
> ist die Komposition auch differenzierbar und somit die
> Funktion f stetig für [mm]x\not=0.[/mm]
jap
> Für x=0: Um Stetigkeit in dem Punkt x=0 zu zeigen muss
> doch gelten: Der Grenzwert der Funktion [mm]xsin(\bruch{1}{x})[/mm]
> für x gegen 0 muss das gleiche sein wie der Wert der
> Funktion an der Stelle x=0 (Welcher nach Definition ja
> grade a ist. Also muss die Gleichung [mm]\limes_{x\rightarrow 0}xsin(\bruch{1}{x})=a[/mm]
> erfüllt sein. Das ist äquivalent zu: [mm]\limes_{x\rightarrow 0}xsin(\bruch{1}{x})-a=0[/mm]
diese Umformung ist etwas unnütz, aber oke.
> und der Grenzwert [mm]x\to[/mm] 0 ist Null,
würde ich persönlich noch kurz ausführen [mm] (\sin [/mm] ist beschränkt und x geht gegen 0)
> also bleibt noch: 0-a=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die Funktion f ist nur stetig in x=0 und damit
> „allgemein stetig", wenn a=0 ist.
>
> Stimmt das soweit?
jo
> Zur Differenzierbarkeit:
> Für [mm]x\not=0[/mm] sind ja beide Funktionen x und
> [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm] diffbar, wie oben schon angemerkt.
> Also betrachten wir den Fall x=0:
> Wenn die Funktion im Punkt x=0 differenzierbar ist, muss
> der Grenzwert des Differenzenquotienten existieren für:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{xsin(\bruch{1}{x})-f(0)}{x-0} \gdw \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{xsin(\bruch{1}{x})}{x}\gdw \limes_{x\rightarrow 0}sin(\bruch{1}{x})[/mm]
> (Wenn wir f(0)=a= 0 haben)
>
> Und dieser Limes existiert ja nicht, deshalb ist die
> Funktion f nicht differenzierbar in x=0. Ist das korrekt
ja (könntest noch kurz erwähnen was im Fall [mm] a\not=0 [/mm] ist... natürlich nicht diffbar, da nicht stetig)
> und muss man die Aussage „der Grenzwert existiert
> nicht“ noch irgendwie näher begründen können?...Finde
> eig relativ klar?!=)
kommt darauf an in welchem Semester du studierst :D am Anfang sollte man immer jedes i-Tüpfchen beweisen :D
(kannst zum Beispiel 2 Folgen angeben, die gegen 0 konvergieren aber eingesetzt in [mm] \sin(\frac{1}{x}) [/mm] nicht den selben Grenzwert haben. ich denke an sowas wie [mm] \frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n} [/mm] und [mm] \frac{1}{-\frac{\pi}{2}+2\pi n})
[/mm]
kann sein, dass das jetzt zu kleinlich von mir ist.
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> Zuletzt zur stetigen Differenzierbarkeit: Das bedeutet
> doch, dass die Ableitungsfunktion stetig ist. Aber jetzt
> ist doch f im Punkt x=0 gar nicht differenzierbar, also
> kann doch f nicht stetig differenzierbar sein?
ja. man könnte aber noch erwähnen, dass f sonst überall stetig diffbar ist
> Wäre nett, wenn hier mal jemand drüber schauen könnte
> und mir sagen, ob das soweit ok ist, was ich fabriziert
> habe=)
>
> Danke schonmal im Voraus!
> Liebe Grüße
Liebe Grüsse
nooschi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Theoretix |
Danke dir für die Mühe und Hilfe!
Gruß
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