Stetigkeit von Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Mi 12.12.2007 | | Autor: | alpakas |
| Aufgabe | a) Für die Funktion f: [mm] \IR\to\IR [/mm] gelte f(0)=1 sowie f(x+y)=f(x)f(y) für alle [mm] x,y\in\IR [/mm]
man zeige: Ist f im Nullpunkt stetig, so ist f auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig.
b) Für die Funktion g: [mm] \IR\to\IR [/mm] gelte |g(x)| [mm] \le [/mm] M für alle x [mm] \in\IR [/mm]
Zeigen sie: Die Funktion f: [mm] \IR\to\IR [/mm] , f(x):=xg(x) ist in 0 stetig. |
Ihr müsst mir unbedingt helfen, ich komme da einfach nicht ran!!!! Bitte!!! Bin echt schon am verzweifeln!!
lg alpakas
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> a) Für die Funktion f: [mm]\IR\to\IR[/mm] gelte f(0)=1 sowie
> f(x+y)=f(x)f(y) für alle [mm]x,y\in\IR[/mm]
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> man zeige: Ist f im Nullpunkt stetig, so ist f auf ganz [mm]\IR[/mm]
> stetig.
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> b) Für die Funktion g: [mm]\IR\to\IR[/mm] gelte |g(x)| [mm]\le[/mm] M für
> alle x [mm]\in\IR[/mm]
> Zeigen sie: Die Funktion f: [mm]\IR\to\IR[/mm] , f(x):=xg(x) ist
> in 0 stetig.
> Ihr müsst mir unbedingt helfen, ich komme da einfach nicht
> ran!!!! Bitte!!! Bin echt schon am verzweifeln!!
Zu a): Betrachte folgende Umformungskette
[mm]|f(x)-f(x_0)|=|f\big((x-x_0)+x_0\big)-f(x_0)|=|f(x-x_0)\cdot f(x_0)-f(x_0)|=|f(x-x_0)-1|\cdot |f(x_0)|[/mm]
Ist nun, nach Voraussetzung, $f$ an der Stelle $0$ stetig und $f(0)=1$, so geht der Faktor [mm] $|f(x-x_0)-1|$ [/mm] für [mm] $x\rightarrow x_0$ [/mm] gegen $0$. Da der zweite Faktor [mm] $|f(x_0)|$ [/mm] für den Nachweis der Stetigkeit von $f$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] konstant ist, geht also die Differenz [mm] $|f(x)-f(x_0)|$ [/mm] für [mm] $x\rightarrow x_0$ [/mm] gegen $0$: d.h. $f$ ist stetig in [mm] $x_0$.
[/mm]
Dies kannst Du natürlich alles auch mit [mm] $\varepsilon,\delta$ [/mm] formulieren, wenn Du dies unbedingt nötig finden solltest.
Zu b): Es ist doch
[mm]|f(x)-f(0)|=|x\cdot g(x)-0|=|x|\cdot|g(x)|\leq |x|\cdot M[/mm]
Die rechte Seite dieser Ungleichung geht für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ offenbar gegen $0$. Also?
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