Stetigkeit von Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Di 11.12.2007 | | Autor: | alpakas |
| Aufgabe | a) Die Signum Funktion sgn: [mm] \IR\to\IR [/mm] ist definiert durch:
sgn(x):= [mm] \vektor{-1, x<0 \\ 0, x=0\\1, x<0}
[/mm]
Untersuchen sie die Funktion auf stetigkeit!
b) Zeigen sie mit dem [mm] \varepsilon-\delta- [/mm] Kriterium der Stetigkeit: Die Funktion [mm] f:(0,\infty)\to\IR [/mm] , [mm] f(x):=x^{-1} [/mm] ist stetig. |
Hallo!
Ich habe sowas noch nie gemacht! Ich war eine ganze Woche krank und keiner kann es mir erklären. Ich weiß, worum es sich bei dem [mm] \varepsilon-\delta- [/mm] Kriterium der Stetigkeit handelt und habe mir auch skizzenhaft die Funktionen einmal eingezeichnet, aber ich weiß nicht, wie man das ausführlich darstellen kann!
bitte helft mir!! Denn auch meine Zahlreichen Analysisbücher helfen mir keinen Schritt weiter!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
lg Alpakas
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Hallo
1). Stetigkeit bei Signumfunktion: Es gilt [math]\forall x >0[/math] ist [math]f[/math] konstant und für [math]\forall x<0[/math] auch. Damit ist [math]f[/math] [math]\forall x \in \mathbb{R}\backslash 0[/math] stetig. Nun kommt die Nullstelle dran. Es sei [math]|x_{1}-0|<\epsilon[/math], mit [math]x_{1}>0[/math] und [math]\epsilon>0[/math]. Weiter muss [math]|\mathrm{sign}(x_{1})-\mathrm{sign}(0)|<\delta[/math] sein, mit [math]\delta>0[/math]. Nun ist aber [math]|1-0|<\delta[/math]. Dies gilt nur dann wenn [math]\delta>1[/math] ist, also nicht für alle [math]\delta>0[/math]. Daraus folgt nicht stetig an der Stelle 0.
2): Setze zunächst [math]|x_{1}-x_{0}|<\epsilon[/math] und [math]|f(x_{1})-f(x_{0})|<\delta[/math]. Man muss nachweisen, dass es für alle [math]\delta>0[/math] gilt. Setze diese Funktion ein, so ergibt sich [math]|\frac {1} {x_{1}}-\frac {1} {x_{0}}|<\delta[/math]. Da [math]x_{0}>0[/math] ist, scheint es ein [math]\alpha>1[/math] zu geben, mit [math]x_{0}\cdot \alpha=x_{1}[/math]. Analog dazu gibt es ein [math]0<\beta<1[/math] mit [math]\frac {1} {x_{0}}\beta=\frac {1} {x_{1}}[/math], weil [math]f\in \mathbb{R}[/math] gilt und [math]f[/math] monoton fallend ist. Durch Umtausch lassen sich die Betragsstriche entfernen und es ist [math]\frac {1-\beta} {x_{0}}<\delta[/math]. Da [math]\frac {1-\beta} {x_{0}}>0[/math] ist für alle [math]\beta[/math] liegt es im Definitionsbereich von [math]\delta[/math] und damit gibt es immer ein [math]\delta[/math] für die die Ungleichung stimmt. Damit ist [math]f[/math] stetig in [math](0,\infty)[/math].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 12.12.2007 | | Autor: | alpakas |
Vielen vielen dank!!!!  Ich glaube, jetzt kann ich das ganze erstmal nachvollziehen!!!!
Danke für deine Hilfe!!!! *freu*
lg alpakas
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Hallo. Hier noch ein kleiner Nachtrag:
Also [math]\beta=\frac {1} {\alpha}[/math]. Dadurch impliziert ja [math]\frac {1-\frac {1} {\alpha}} {x_{0}}<\delta[/math] ja auch [math]x_{1}-x_{0}<\epsilon[/math]. Denn für eine große Differenz [math]x_{1}-x_{0}[/math] wird auch [math]\frac {1-\frac {1} {\alpha}} {x_{0}}<\delta[/math] größer da [math]\alpha[/math] größer wird. Das bedeutet, wenn [math]x_{1}-x_{0}<\epsilon[/math] gilt, gilt demnach auch
[math]\frac {1} {x_{0}}-\frac {1} {x_{1}}<\delta[/math]. [mm] \newline
[/mm]
Dieses Verfahren mit der Multiplikation ist nur deshalb günstig, weil [math]\frac {1}
{x}[/math] die Umkehrfunktion von [math]x[/math] ist. Dadurch kommt dieses [math]\alpha[/math] in beiden Termen vor und man dadurch Rückschlüsse ziehen, wie die beiden zusammenhängen.
Ich hoffe es kann helfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mi 12.12.2007 | | Autor: | alpakas |
jetzt bin grad total verwirrt was ist denn nun bei meiner Funktion [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_1?? [/mm] sorry für die blöde Frage ^^
lg alpakas
Und Danke!!
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Hallo
Also [math]x_{0}[/math] ist ein beliebiger Punkt in [math](0,\infty)[/math], [math]x_{1}[/math] auch. Damit ist [math]|x_{1}-x_{0}|[/math] der Abstand von den zwei Punkten. Beim Abstand braucht man immer zwei Punkte. Das ist auch der Sinn der Stetigkeit. Wenn der Abstand [math]|x_{1}-x_{0}|[/math] beliebig klein wird, dann soll ja auch der Abstand [math]|f(x_{1})-f(x_{0})|[/math] beliebig klein werden. Die Funktion macht dann keine Sprünge oder hat dementsprechend keine Lücken. Sie ist also stetig.
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