Stetigkeit von Funktionen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Fr 16.01.2004 | | Autor: | Denise |
Hallo Mathegenies
Ich habe eine Verständnisfrage zur Stetigkeit von Funktionen. Die Definition, wann eine Funktion stetig ist, ist mir bekannt, aber dennoch kann ich nicht viel mit ihr anfangen. Ich weiss nicht, wie man sie praktisch anwenden kann. Vielleicht könnt ihn mir ja dabei helfen, denn die sture Definition bringt mir nicht viel...
Liebe Grüße
Denise
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Do 22.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Denise,
ich antworte dir jetzt mal, auch wenn ich kein Mathegenie bin.
Tut mir leid, dass wir jetzt erst antworten. Ich habe dein Beitrag aber jetzt erst gesehen.
Anschaulich bedeutet die Stetigkeit in einem Punkt folgendes: Ich lege ein beliebiges Intervall [mm]J[/mm] um den Funktionswert dieses Punktes fest, egal wie klein auch immer. Dann finde ich in jedem Fall ein Intervall [mm]I[/mm] um den gewählten Punkt, so dass alle Funktionswerte von Punkten aus [mm]I[/mm] in [mm]J[/mm] liegen.
Also: Wenn ich nur nah genug an den Punkt rangehe, in dem die Funktion stetig ist, dann komme ich auch mit den jeweiligen Funktionswerten beliebig nahe an den Funktionswert dieses Punktes.
Anschaulich bedeutet das, dass der Graph einer stetigen Funktion keine Sprünge besitzt. Man kann den Graph in einem durchzeichnen, ohne den Stift abzusetzen. (Diese "Definition" ist mathematisch unkorrekt und mit Vorsicht zu genießen, sie gibt einem aber eine gute Intuition.)
Beispiel: Die Funktion
[mm]f(x) =\left\{ \begin{array}{cccc} 1 & , & \mbox{für} & x \le 0,\\[5pt]
2 & , & \mbox{für} & x>0 \end{array} \right.[/mm]
ist in [mm]x_0=0[/mm] nicht stetig. Denn: Egal, wie nah ich an die [mm]x_0=0[/mm] rangehe, die Funktionswerte an der Stelle [mm]x_0=0[/mm] ([mm]f(0)=1[/mm]) und rechts von [mm]x_0=0[/mm] ([mm]f(x)=2[/mm] für alle [mm]x>0[/mm]) unterscheiden sich immer um 1, liegen also nicht beliebig nahe beieinander. Wenn ich [mm]\varepsilon=1[/mm] wähle, dann gibt es kein [mm]\delta > 0[/mm] mit
[mm]|x-0|<\delta \qquad \Rightarrow \qquad |f(x)-f(0)| < \varepsilon[/mm].
An der Stelle [mm]x=0[/mm] liegt ein Sprung (der Größe 1) vor, die Funktion ist dort nicht stetig.
Ist es jetzt klarer?
Viele Grüße
Stefan
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